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Transkript Wurzel aus 2 – Irrationalität

Hallo! Schön das ihr zuschaut, denn heute wollen wir beweisen, dass die Zahl √2 keine rationale Zahl ist. Wir wollen unseren Beweis indirekt führen. Das heißt, wir nehmen erst einmal das Gegenteil an, also das √2 tatsächlich eine rationale Zahl ist und dann folgern wir daraus verschiedene Dinge, die dann irgendwann zu einem Widerspruch führen. So, wir nehmen also an, √ ist rational. Was heißt das? Das heißt, wir können √2 als Bruch schreiben, zum Beispiel als p/q, wobei p und q ganze Zahlen sind. Dann kürzen wir diesen Bruch erst einmal. Das heißt, wir kürzen hier oben und unten irgendwelche Zahlen raus und dann kriegen wir oben einen neuen Zähler, ein neues p, und einen neuen Nenner q. Und diese beiden Zahlen haben dann keinen gemeinsamen Teiler mehr. Denn wenn sie noch einen hätten, könnten wir ja noch einmal kürzen. Aber das soll ja jetzt schon die endgültig gekürzte Version sein. Also haben die keinen gemeinsamen Teiler und das müssen wir uns merken, das ist sehr wichtig. O.k., jetzt quadriere ich die Gleichung auf beiden Seiten. Da kriege ich links 2 und rechts p²/q² und das kann ich dann umstellen zu 2×q²=p². So jetzt steht links 2× irgendeine Zahl. Das heißt, p², die rechte Seite, muss gerade sein. Denn wir haben hier eine Gleichung, rechts und links steht das Gleiche. Und auf der linken Seite ist ja eine Zahl, in der 2 als Faktor vorkommt. Also sind die linke und damit auch die rechte Seite gerade. So, und wenn das Quadrat von p gerade ist, dann muss auch p selber gerade sein. Denn sagen wir mal p wäre ungerade, dann wäre das Quadrat ungerade × ungerade, das ergibt immer ungerade. Das ist aber nicht der Fall. Also muss p selber auch gerade sein. Wenn p aber gerade ist, kann ich es schreiben als 2× eine andere Zahl. Ich nehme hier mal das orangene p. Ja, denn das grüne p ist ja durch 2 teilbar. Und dieses 2× orange p kann ich dann oben in der Gleichung für das grüne p einsetzen. Dann löse ich da die Klammer auf. Da erhalte ich 4× orange p². Dann teile ich die ganze Gleichung durch 2. Da bleibt also links q² und recht 2× orange p². Und jetzt kommt das gleiche Argument wie eben. Wir haben auf der rechten Seite der Gleichung eine 2 als Faktor, also muss die linke Seite q² gerade sein. Dann muss aber auch q gerade sein. Das geht dann wieder nach dem gleichen Prinzip wie eben bei p. Wenn die Quadratzahl gerade ist, muss auch die Zahl selber gerade sein. O.k., was haben wir jetzt eigentlich herausgefunden? Wir haben herausgefunden das p gerade ist und das q gerade ist. Ja und das ist dann auch schon unser Widerspruch. Denn wir hatten ja gesagt das p und q keinen gemeinsamen Teiler haben. Wenn sie aber beide gerade sind, haben sie beiden den Teiler 2 und das ist unser Widerspruch. Das heißt, unsere Annahme war falsch, denn wir haben etwas geschlussfolgert, was unmöglich ist. Also ist die Zahl√2 keine rationale Zahl und spätestens, wenn man das bewiesen hat, merkt man eben, dass es außer den rationalen Zahlen noch mehr Zahlen gibt. Dieser Beweis stammt übrigens von Euklid und das ist bestimmt der bekannteste, indirekte Beweis, den es gibt. Also den sollte man auf jeden Fall mal gesehen haben. Aber das habt ihr ja jetzt und damit machen wir Schluss.

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6 Kommentare
  1. Default

    Echt super hilfreiches Video. Vieeeeeeeeeeeeeelen Dank ich glaub bei mir hat's Klick gemacht.

    Von Jule Potter, vor mehr als einem Jahr
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Lara,
    womöglich kann ich dir weiterhelfen oder Videos empfehlen. Eine Nachricht kann ich dir nicht schreiben... Kannst du dein Problem erklären?

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Kann mir jemand helfen? Ich brauche dringend Hilfe bei einer Textaufgabe zu Gleichungssystemen! Wenn mir jemand helfen kann, bitte Nachricht an mich! Danke im Voraus :)

    Von Lara F., vor mehr als 2 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo DJ Moody.

    Danke für dein Lob und deine Kritik. Der Beweis zu Wurzel 3 funktioniert genauso wie der zu Wurzel 2. Ansatz, Vorgehen und Argumente sind exakt gleich. Der einzige Unterschied: Anstatt mit 2 und 4 argumentierst du mit ... zwei anderen Zahlen ;). Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  5. Default

    Ein video zu Wurzel 3 wäre schön!
    Bitte beweise das wurzel 3 eine irrationale zahl ist.

    Aber das video ist super!
    Die Schritte der Beweisführung könnte am Ende noch einmal zu sehen sein, dann müste man das Video nicht immer wieder von vor schauen um alles mitzuschreiben.

    Von Dj Moody, vor etwa 3 Jahren
  1. Default

    Gut

    Von Lillijan, vor fast 6 Jahren
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