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Transkript Winkelmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Hallo! Wenn Jugendliche erwachsen werden, dann erreichen sie immer wieder Meilensteine. Viele davon haben mit einem ersten Mal zu tun. Da möchte ich jetzt im Allgemeinen gar nicht weiter drauf eingehen. Ich möchte nur einen wichtigen Schritt hin zum Erwachsenwerden herausgreifen und das ist zweifellos der, dass man Winkel nicht mehr im Gradmaß, sondern im Bogenmaß angibt. Und wie das funktioniert, möchte ich jetzt mal zeigen. Es geht also darum, wie kann man Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen und umgekehrt. Unsere Ausgangsgleichung hierfür ist die: 2π entspricht 360°. Wie komme ich da drauf? Wir erinnern uns, was das Bogenmaß bedeutet. Wir teilen den gesamten Kreis nicht in Grad ein, sondern wir orden einem Winkel hier den zugehörigen Kreisbogen zu und die Länge des Kreisbogens geben wir als Vielfaches des Radius an. Hier haben wir einen Winkel, er geht von da bis da zum Beispiel, hier ist die Länge des Radius und der passt jetzt 2-mal circa auf diesen Bogen drauf und deshalb hat dieser Winkel hier, der Winkel von da bis da, das Bogenmaß 2, weil der Radius dieses Kreises 2-mal hier drauf passt. Wenn der Winkel 1-mal ganz rum geht, dann entspricht das dem Gradmaß 360 und im Bogenmaß ist es dann 2π, weil wir ja wissen: Den Kreisumfang berechnet man nach der Formel 2×π×r, also 2×π mal passt der Radius auf den gesamten Kreisbogen, also auf den gesamten Kreisumfang. Daher kommt diese Gleichung zustande. Wenn wir jetzt wissen wollen, wie sieht ein Winkel von 37° zum Beispiel im Bogenmaß aus, dann können wir das einfach mit dem Dreisatz machen, indem wir nämlich hier auf beiden Seiten durch 360 teilen und dann hier stehen haben 1° entspricht dann: 2×π/360=π/180, mit der 2 kann man ja kürzen - π/180. Wenn wir jetzt einen Winkel von x° haben, dann müssen wir noch mit x multiplizieren und dann haben wir hier (π/180)×x. Das ist unsere Umrechnung. π/180 ist circa 0,0175, das ist diese Zahl hier. Also, man kann sich merken, wenn man einen Winkel im Gradmaß hat, zum Beispiel 37°, dann muss man 37° oder die Zahl 37 mit dieser Zahl multiplizieren und erhält den Winkel im Bogenmaß. Wie funktioniert das umgekehrt? Ich kann jetzt auch hier wieder losgehen mit dem Denken und auf das Bogenmaß 1 umrechnen hier. Das Bogenmaß 1 entspricht dann einem Winkel von 360°/2π und mit der 2 kürzt man wieder und hat dann hier stehen 180°/π und auch, wenn man hier einen allgemeinen Winkel von x hat, x im Bogenmaß. Bogenmaß ist jetzt hier keine benannte Zahl. Sie hat keine Einheit, es ist nicht Grad oder so was, es ist einfach diese Zahl x. Diese Zahl x muss man dann mit 180°/π multiplizieren. Also (180°/π)×x ist dann der Winkel im Gradmaß. Diese Zahl ist ungefähr - ich habe es aufgeschrieben - 57,3°. Wenn man diese Zahl einfach mit 57,3° ungefähr multipliziert, dann hat man den Winkel im Bogenmaß. 1 oder 2 Anmerkungen noch dazu: Weil wir hier durch π teilen und hier und hier irrationale Zahlen stehen und die irrationalen Zahlen immer ein bisschen blöd sind zu schreiben - man muss immer etwas runden, man muss sich immer überlegen, auf welche Stelle runde ich denn, was brauche ich denn hier - weil das alles ein bisschen blöd ist, hat man sich gedacht, man könnte doch einfach das Bogenmaß als Vielfaches von π ausdrücken. Dann haben wir jetzt nicht ein Bogenmaß von 1 oder 2 oder 3, sondern wir haben dann ein Bogenmaß von 1π, 1/2π, 2π, und so weiter. Das führt dazu, wenn wir zum Beispiel einen Winkel im Bogenmaß haben, und der 1,3π ist, und wir den ins Gradmaß umrechnen möchten, dann müssen wir ja mit 180°/π multiplizieren und dann sieht man, was passiert. 180°/π - das π kürzt sich raus. Wir müssen nur noch 180°×1,3 rechnen oder 1,3×180°, ist ja egal. Es kommt heraus: 1×180°=180°, (1/10)×180°=18°, (3/10)×180°=3×18°=54°, 180+54=234. 234° kommt raus. Ich habe jetzt eine extra etwas krumme Zahl genommen hier, 1,3, um auch zu zeigen: Das geht ganz einfach, wenn man jetzt hier das π rauskürzen kann. Noch eine Sache ist dazu zu sagen, weil viele Schüler ja Brüche diskriminieren. Das ist nicht in Ordnung, denn sie helfen sehr viel. Also es ist überhaupt nicht in Ordnung, jemanden, oder Brüche auch zu diskriminieren, aber zu dem wollte ich noch anmerken, dass die Brüche sehr hilfreich sind, und zwar, wenn man das Vielfache von π als Bruch angibt. Warum hilft das so viel? Weil 180 durch so schön viele Zahlen teilbar ist. Wenn wir zum Beispiel den Winkel von ½π haben und den umrechnen wollen ins Gradmaß, dann müssen wir ja ×180°/π rechnen. Also, π kürzt sich raus und wir müssen nur noch rechnen: 1/2×180°, und das ist 90°. Das geht auch mit 1/3 und ich fasse mich da jetzt mal ein bisschen kürzer. (1/3)×180° zum Beispiel. Das π schreibe ich nicht mehr hin, weil es sich auch so andauernd rauskürzt. (1/3)×180° ist - ich muss ja 180 durch 3 teilen - 60°. Und dann haben wir 1/4×180°, das ist 45°, also 180/2=90, noch mal durch 2 ist 45. Das geht auch mit 1/5, das ist 36°. Man muss ja nur (180/10)×2 rechnen, also 1/5×180°=36° und 1/6, das geht auch noch, das ist dann 30°, 1/7 ist eine Ausnahme, ist egal. 1/8 sind noch 22,5° und durch 10 kann man auch gut teilen, durch 9 kann man auch teilen, durch 12 kann man 180 teilen und dann kriegt man immer schön glatte Gradzahlen. Man kann das dann schnell im Kopf umrechnen und darum geht es ja eigentlich, dass man sich gut vorstellen kann: Wie groß sind ungefähr Winkel, wenn sie welches Gradmaß und welches Bogenmaß haben, damit man sich das schnell und gut und sauber vorstellen kann. Viel Spaß damit. Tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    Endlich verstehe ich das wieder :) danke

    Von Pwh283, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Danke! Hab das jetzt richtig gut verstanden mit dem Grad- und Bogenmaß! Super erklärt!

    Von Marina Schiera, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Super super Video von einem super super Mathegenie!!!!!!!!!!!!

    Von Rocky99, vor mehr als 5 Jahren