Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Windschiefe Geraden – Erklärung

Hallo! Wir haben wieder einen Würfel mit eingehängtem Dreieck, hier auf dem gelben Plakat sind die Daten dazu. Hier ist das Modell des Würfels mit dem eingehängtem Dreieck und wir haben hier 2 Geraden gegeben, einmal gD, das ist die Gerade, die hier durch diese untere Dreiecksseite führt. Diese Gerade hier ist das; also die führt durch M1 und M2. Wir haben eine weitere Gerade, das ist eine Raumdiagonale, die fängt bei - die geht durch den Punkt (0/4/0), das ist hier und geht so durch den Raum des Würfels an die gegenüberliegende Ecke. Diese beiden Geraden sind gegeben, das sind die Geradengleichungen und wir haben nun zu zeigen, dass beide Geraden windschief sind. Windschief bedeutet 1. sie sind nicht parallel, 2. sie haben keinen Schnittpunkt. 1. und 2. ist in dem Fall egal. Ich möchte so herum anfangen: 1. sie sind nicht parallel. Damit 2 Geraden parallel sind, müsste folgendes passieren: Wir nehmen den einen Richtungsvektor und zwar (-1/1/0) und setzen den gleich der Multiplikation einer Zahl mit dem anderen Richtungsvektor, (1/-1/1). Warum ist das so? Wenn 2 Richtungsvektoren in die gleiche Richtung zeigen, dann muss ein Richtungsvektor Vielfaches des anderen Vektors sein. Das bedeutet - also, wenn der hier Vielfaches dieses Vektors ist, dann ergibt das eine Zahl, die habe ich hier a genannt, die kann ich jetzt mit diesem Vektor multiplizieren und dann entsteht dieser Richtungsvektor. Für diese Zahl hier, a, müsste gelten, dass -1=a×1. Es müsste auch gelten, dass 1=a×-1 und es müsste gelten, dass 0=a×1 ist. Und jetzt möchte ich eben mit der letzten Gleichung anfangen 0=a×1, würde dazu führen, dass a=0 ist, wäre a=0, dann wäre aber auch a×-1=0 und dann wäre a×1=0, dann müssten hier auch 2 Nullen stehen, also gibt es dieses a nicht, denn hier stehen keine 2 Nullen. Dann ist diese Sache hier erledigt, das heißt also, die beiden Geraden gD und gR - also die Raumdiagonale - die sind hier nicht parallel. Ich glaube, so schreibt man das, ist auch egal, du weißt, was ich meine, die sind nicht parallel, das haben wir jetzt gezeigt. Und ich mache gleich weiter damit, dass sie keinen Schnittpunkt haben. Das kann man sich folgendermaßen vorstellen: Wir setzen einfach diese beiden Geraden gleich und dabei kommt dann folgendes heraus: Wir erhalten 3 Gleichungen. Na, ich setze sie erst einmal so gleich. Also hier haben wir (2/0/2)+µ×(-1/1/0)=(0/4/0)+λ×(1/-1/1). Daraus entstehen jetzt, wenn wir koordinatenweise aufschreiben, 3 Gleichungen. Das bedeutet wir haben einmal 2-µ - also µ×-1=-µ - =0+λ×1 - also =λ. 0+µ×1, das heißt dann einfach µ=4+λ×-1, also 4-λ. Und wir haben 2+µ×0, also 2=0+λ×1, das heißt, wir wissen schon, dass λ=2 ist, das geht aus der letzten Gleichung hervor. Ich möchte die eben hier kurz nummerieren, diese 3 Gleichungen; mit is und vs nummerieren. Jetzt folgt aus der 3. Gleichung - das schreibe ich jetzt hier hin - also aus der 3. Gleichung folgt jetzt, dass µ=4-2 ist, denn ich setze hier einfach für λ 2 ein und dann haben wir also, dass µ=2 ist. Das ist also die Gleichung 4. Aus der Gleichung 4 folgt nun, wenn ich das jetzt in i einsetze, dass 2-µ - µ ist ja =2 - 2-2 soll =λ sein, also =2. 2-2=0 und nicht 2, das ist ein Widerspruch, deshalb haben beide Geraden keinen Schnittpunkt. Wenn das Gleichsetzen zum Widerspruch führt, dann haben sie keinen Schnittpunkt und somit haben wir gezeigt, sie sind nicht parallel, sie haben keinen Schnittpunkt. Und das kann man hier gut sehen. Die eine Gerade verläuft hier, die andere dort. Diese beiden Geraden sind windschief und das haben wir jetzt gezeigt. Viel Spaß damit, tschüss!

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Flyer wabnik

    Die Nummerierungen und auch die Variablen sind absolut üblich - da ist nichts außergewöhnliches dran.

    Von Martin Wabnik, vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    Die vielen außergewöhnlichen Nummerierungen und variablen verwirren ......

    Von Tobtob, vor mehr als 6 Jahren