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Transkript Windschiefe Geraden

Hallo, wie kann man von 2 gegebenen Geraden nachweisen, dass sie windschief sind? Man kann sich zunächst mal vorstellen, was bedeutet denn windschief eigentlich? Also das sollen jetzt mal 2 Geraden sein hier so sind sie identisch da kann man sie nicht unterscheiden, so sind sie parallel, und so sind sie windschief. Sie haben verschiedene Richtungen, sie haben einen Abstand zueinander, sie schneiden sich nicht, das ist windschief. Bedeutet, wenn wir das nachweisen wollen, wir brauchen erst mal, dass sie nicht parallel sind und dann können wir nachweisen, dass sie sich nicht schneiden. Wenn beides erfüllt ist, sind sie windschief. 2 Geraden sind parallel, wenn der eine Richtungsvektor Vielfaches des Anderen ist. Das bedeutet, das müsste also, wenn sie parallel wären, eine Zahl geben, mit der man den einen Richtungsvektor so multiplizieren kann, dass der andere Richtungsvektor herauskommt. Dabei sind natürlich auch negative Zahlen zugelassen, das ist völlig egal, es muss nur irgendeine Zahl geben. Wir können dann, um zu gucken, ob das der Fall ist, einfach uns eine Zahl denken, K, mit der man den einen Vektor multipliziert, sodass der andere herauskommt. Wenn wir das zeilenweise lesen, dann sehen wir, dass K wegen der 1. Zeile gleich 4 sein muss, weil 4x1=4 ist, hab ich hier schon hingeschrieben. Und Kx3 muss 2 ergeben, das heißt, K müsste dann auch gleich 2/3 sein. Das hab ich hier hingeschrieben und wegen der letzten Zeile müsste K=¼ sein und das geht natürlich nicht. K kann nicht 3 Zeilen gleichzeitig sein und deshalb wissen wir hier, dass die beiden Geraden nicht parallel sind. Die Frage ist, schneiden sie sich.  Um das nachzuweisen, ob sie sich schneiden oder nicht, setzt man beide Geraden gleich. Das hab ich hier gemacht, einfach diese beiden Terme hinschreiben und gleichsetzen und dann sieht man ja, ob das Gleichungssystem, was daraus entsteht, erfüllbar ist oder nicht. Wenn es nicht erfüllbar ist, wenn es keine Zahlen gibt, die das Gleichungssystem lösen, dann sind die Geraden windschief. So, wie kann man ein Gleichungssystem lösen, das so entsteht? Zunächst mal schreibt man diese 3 Zeilen, die hier entstehen, getrennt hin. Wir haben hier -2+rx1=3+sx4, das hab ich hier hingeschrieben, da ist die 2. Zeile. Ich denke, das ist erkennbar. Ich nehme ja die ersten beiden Zeilen heraus und verarbeite die weiter. Das bedeutet, ich habe, wenn ich nur die ersten beiden Zeilen betrachte, ein Gleichungssystem, ein lineares Gleichungssystem, mit 2 Variablen und 2 Unbekannten. Das solltest du schon gemacht haben irgendwann, das setze ich hier voraus, dass du das kannst. Falls du nicht mehr ganz sicher bist bei linearen Gleichungssystemen, guck dir die Verfahren noch mal an, Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Möchte ich hier jetzt nicht im Einzelnen erklären. Also, ich nehme ja die ersten beiden Zahlen raus, habe erst mal die Zahlen auf die eine Seite gebracht hier, dann bekommt man dieses Gleichungssystem. Und jetzt möchte ich eine 3. Zeile konstruieren, indem ich das Zweifache der 2. Zeile nehme und dann minus die 1. Zeile rechne. Und das sieht dann so aus: 5r=3 kommt heraus, wenn man vom Doppelten der 2. Zeile die 1. Zeile abzieht. Daraus folgt, dass r=3/5 ist oder auch 0,6 und dann hab ich die 3/5 in diese Gleichung eingesetzt, in r=5+4s. Und dabei kommt heraus, dass s=-1,1 ist und wenn man dann diese beiden gefundenen Zahlen in die 3. Gleichung einsetzt, stellt man fest, dass diese Rechnung in der 3. Gleichung nicht stimmt. Also, das Fragezeichen kann weg, das ist nicht gleich. Und daher wissen jetzt, dass sich die beiden Geraden auch nicht schneiden. Also wir haben gezeigt, diese beiden Geraden sind nicht parallel und sie schneiden sich nicht. Deshalb wissen wir jetzt, dass sie windschief sind. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    Danke für das super Video, mit farbiger Markierung einzelner Variablen oder Zahlen die du einsetzt wäre es perfekt. ;)

    Von Schmitz, vor mehr als 4 Jahren