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Transkript Wertetabelle der Funktion y=|x|

Hallo, eine letzte Funktion möchte ich noch zeigen hier in diesem Zusammenhang der Funktionsgleichungen, um zu verstehen, was überhaupt eine Funktion ist und wie die in ihr Koordinatensystem kommt. Da habe ich mal ganz was feines vorbereitet: Also, da steht noch nichts, aber da kommt jetzt was hin. Nämlich y=|x|, oder einfach Betrag x. Manche sagen auch y=x-Betrag. Nein, das ist Unsinn. y=Betrag x oder der Betrag von x. Was ist der Betrag von x? Wie ist das definiert? Du hast das wahrscheinlich schon mal gemacht, in der 6. Klasse oder so, da hat man gesagt, der Betrag ist der Abstand einer Zahl vom Nullpunkt. Du kannst dir ja vorstellen, dass die Zahlen sich alle auf einer Zahlengeraden befinden und quasi in der Mitte, falls man bei einer Geraden von einer Mitte sprechen kann, da ist irgendwo die 0. Und jede Zahl, die sich auf der Zahlengeraden befindet, hat einen Abstand von dieser 0 - das ist die Entfernung, die diese Zahl von der 0 hat. Das ist die Definiton, die man in der 6. oder 7. Klasse, ich weiß nicht genau, macht. Aber wir haben noch eine andere Definiton hier im Angebot, und zwar die für die Großen. Und da kann man sagen: Der Betrag von x ist definiert als x, falls x > oder = x ist. Falls x > oder = x ist, ist der Betrag von x einfach = x. Das kann man sich so vorstellen, wenn ich jetzt die 3 einsetze zum Beispiel, die 3 hat den Abstand 3 zum Nullpunkt. Warum nicht? Der Betrag von x = -x, falls x < 0 ist, oder man kann auch einfach sagen: sonst. Der Betrag von x = -x sonst, heißt also, falls x < 0 ist. Ja, und dann werde ich mal hier diese Wertetabelle zurechtbauen. Falls x = 0 ist, wie groß ist dann der Abstand zum Nullpunkt? 0 ist sich selbst ganz nah, Null hat zu sich selbst überhaupt keinen Abstand, also den Abstand 0. Wenn ich jetzt einsetze hier die -1, dann überlege ich mir zunächst, kann ich jetzt hier diese Definition verwenden? Tritt der obere Fall ein? Nein, er tritt nicht ein, weil -1 nicht > oder = 0 ist. Es tritt der Fall sonst ein und dann bedeutet das, dass der Funktionswert hier -x ist. Das x ist ja -1, dann ist -x - -1, und deshalb ist der Funktionswert +1, weil - -1 +1 ist. Da muss man einmal langsam denken: Dieses Minuszeichen tritt erst dann in Kraft, wenn wir wissen, wie groß x ist. Wenn wir für x hier in diesem Bereich also -1 einsetzen, steht da im Ganzen - -1. Das ist manchmal entgegen dem gesunden Menschenverstand, zu sagen, -x ist was Positives. Aber wenn man für x etwas negatives einsetzt, ist -x eben poisitiv. Würde man für x hier etwas positives einsetzen, wäre es natürlich negativ. Machen wir aber nicht, weil dann ja dieser obere Fall eintritt und dann ist Betrag von x einfach = x. Ich zeig das hier nochmal, mit der -2. Wenn ich für -x -2 einsetze, dann ist -x = +2. Man kann sich das auch vorstellen mit dem Abstand: -2 hat vom Nullpunkt den Abstand 2, also bekommt -2 die 2 zugeordnet, und zwar durch diese Betragsfunktion. Ja, das kann ich jetzt so weitermachen. Wenn ich -3 einsetze für x, dann ist -x = +3. Ich mache das deshalb so ausführlich, weil ich immer wieder merke, dass Schüler meinen, -x sei was Negatives. Nein, ist es nicht. Wenn man für x was Negatives einsetzt, ist -x positiv. Ich könnte auch -4 einsetzen, dann kommt hier eine 4 hin; -5 oder -13,"was weiß ich", dann würde der Abstand sein 13,"was weiß ich". Wenn ich 1 einsetze, tritt der obere Fall in Kraft. Dann ist der Betrag von 1 = 1, denn 1 > 0, dann müsste ich es hier einsetzen, dann bleibt es einfach, wie es ist. Der Abstand der 1 vom Nullpunkt ist 1, der Abstand der 2 vom Nullpunkt ist 2, der Abstand der 3 vom Nullpunkt ist 3, der Abstand der 4 vom Nullpunkt ist 4, usw. Also im nächsten Teil kommt der Graph. Bis dahin. Tschüss.

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