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Transkript Was sind Kongruenzabbildungen?

Hallo und herzlich willkommen zu den Geometrievideos. Dieses Video heißt "Kongruenzabbildungen". Ihr wisst schon, was Parallelverschiebung, Achsenspiegelung, Punktspiegelung und Drehung sind. Vielleicht kennt ihr schon den Begriff "Kongruenz". Nachher könnt ihr erklären, wie sich Kongruenzabbildungen auf Figuren und ihre Bilder auswirken. Der Film besteht aus vier Abschnitten. 1. Bewegungen von Figuren 2. Kongruenzabbildungen 3. Deckungsgleichheit und 4. Überprüfung der Kongruenz. 1. Bewegungen von Figuren Figuren wie diesen Bonbon kann man bewegen. Na, und so geht es auch. Der Bonbon bleibt bei der Verschiebung glücklich. Er ist vollkommen erhalten, naja, es sei denn, ich beiße ein Stückchen ab. Das Gleiche gilt natürlich auch für geometrische Figuren wie dieses Dreieck. Ich kann es bewegen, dass es an eine andere Stelle gelangt. Das Dreieck ist glücklich, weil es unversehrt bleibt. Man kann das Dreieck an verschiedene Orte bewegen, hierhin, dahin, hierhin oder dorthin. Natürlich sind die Wege dorthin jeweils unterschiedlich, aber eines bleibt immer gleich und das wollen wir notieren. Bei Bewegungen von Figuren bleiben die Figuren vollständig erhalten. 2. Kongruenzabbildungen Ein Dreieck kann durch verschiedene geometrische Vorschriften bewegt werden. Erinnert euch daran, da gab es doch diese Bewegung mit dieser Achse, und dann gab es einen Punkt Z, an dem auch eine Bewegung stattfand, und dann wurde das Dreieck einfach verschoben. Und schließlich hatten wir auch Bewegungen der Eckpunkte auf konzentrischen Kreislinien. Könnt ihr euch erinnern, wie diese Vorschriften heißen? An der Spiegelachse findet die Achsenspiegelung statt, am Symmetriezentrum Z die Punktspiegelung. Unten links haben wir die Parallelverschiebung und um den Punkt D findet die Drehung statt. Diese Bewegungen bezeichnet man auch als Abbildungen, genauer Kongruenzabbildungen. Unser Dreieck ist ein glückliches Dreieck, denn es bleibt nach jeder Bewegung vollständig erhalten. Kongruenzabbildungen sind die Achsenspiegelung, die Punktspiegelung, die Parallelverschiebung und die Drehung. Wir notieren: Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch Kongruenzabbildungen aufeinander abgebildet werden. Das muss nicht eine einzige Kongruenzabbildung sein, es können auch mehrere ablaufen. Die Zahl der Kongruenzabbildungen ist beliebig, 1, 2, 3 oder sogar noch mehr. 3. Deckungsgleichheit Die beiden Bonbons von vorhin sind deckungsgleich, das heißt, der eine Bonbon verdeckt den anderen. Und genauso kann der Bonbon links den Bonbon rechts verdecken, also beide sind deckungsgleich. Natürlich gilt das auch für geometrische Figuren wie diese beiden Dreiecke. Das Rote verdeckt das braune. Und umgekehrt geht es auch. Das braune Dreieck verdeckt das rote Dreieck. Naja, und genauso funktioniert es mit diesen beiden Rechtecken. Wir merken uns: Zwei Figuren heißen deckungsgleich, wenn sie sich gegenseitig vollständig verdecken. Es gibt das Wort conguentia. Es stammt aus dem Lateinischen und bedeutet Übereinstimmung. Daher verwendet man anstelle des Begriffs Deckungsgleichheit häufig den Begriff Kongruenz. 4. Überprüfung der Kongruenz Sind diese beiden Dreiecke, das braune und das rote kongruent? Das braune Dreieck hat drei gleich lange Seiten a, b und c von jeweils 15 cm. Die Innenwinkel ?, ? und ? betragen jeweils 60°. Die gleichen Werte finden wir für das rote Dreieck. a=b=c=15 cm und ?=?=?=60°. Die Seitenlängen und Innenwinkel beider Dreiecke stimmen überein, folglich sind sie kongruent. Betrachten wir einmal diese beiden Vierecke. Das schwarze und das rote. Wir vergleichen die Seitenlängen. Für das schwarze haben wir hier 15 cm, diese Seite beim roten Viereck ist ebenfalls 15 cm lang. Beim schwarzen messe ich hier 12 cm und ebenso 12 cm erhalte ich beim roten Viereck. 29 cm schwarz und 29 cm rot, und auch die verbleibenden Seiten stimmen überein. Wir haben eine Länge von jeweils von 20 cm. Wie sieht das mit den Winkeln aus? Links 100° und rechts ebenso. 135° finden wir sowohl links als auch rechts, und auch mit 67° finden wir eine weitere Übereinstimmung. Der letzte Winkel ist auch gleich, jeweils 58°. Die Vierecke sind kongruent. Und nun ganz wichtig und bitte merken. Kongruente Figuren stimmen in allen Seiten und allen Winkeln überein. Ihr habt wirklich schön mitgearbeitet. Vielen Dank und viel Erfolg! Alles Gute! Tschüss!

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