Was sind Brüche?

Was sind Brüche? Übung

• Bestimme die Brüche.

  Tipps

  Teilt Wasabi die Sushirolle in sechs gleiche Teile, so ist jeder Teil $\frac{1}{6}$ der gesamten Rolle.

  Fasst Wasabi zwei gleiche Teile zusammen, so erhält er einen Bruch mit dem Zähler $2$.

  Diesem Anteil entspricht der Bruch $\frac{4}{5}$.

  Lösung

  Wasabi teilt seine Sushirolle in fünf gleiche Stücke. Jedes Stück ist daher ein Fünftel der ganzen Rolle. Man schreibt diesen Anteil als $\frac{1}{5}$.

  Fasst Wasabi mehrere solcher Stücke zusammen, so erhält er einen Anteil, der wieder als Bruch mit dem Nenner $5$ geschrieben werden kann. Die Art der Teile, die der Nenner benennt, ist nämlich dieselbe geblieben: Fünftel. Der Zähler des Bruches zählt die Stücke des Anteils. Er entspricht daher der Anzahl von Stücken, die Wasabi jeweils zusammenfasst.

  Bei einem echten Bruch entspricht dem Anteil weniger als das Ganze, d. h. hier weniger als eine ganze Sushirolle. Die Anzahl der zusammengefassten Stücke kann auch größer sein als die Anzahl der Teile einer ganzen Rolle. In diesem Fall ist der Zähler größer als der Nenner.

  So findet Wasabi die Anteile, wie sie hier im Bild zu sehen sind.

• Beschreibe, was Brüche sind.

  Tipps

  Ein Bruch wird Stammbruch genannt, wenn er genau einen Anteil eines Ganzen beschreibt.

  Teilt Wasabei die Sushirolle in sieben gleich große Teile, so ist jeder Teil $\frac{1}{7}$ der ganzen Sushirolle.

  Fasst Wasabi vier der sieben gleich großen Teile der Sushirolle zusammen, erhält er $\frac{4}{7}$ der gesamten Rolle.

  Lösung

  Wasabi teilt seine Sushirollen stets in gleich große Stücke auf. Die Stücke kann er durch Brüche beschreiben. Ein Bruch beschreibt nämlich immer einen Anteil eines Ganzen. Teilt Wasabi eine Sushirolle in fünf gleiche Teile, so ist jeder Teil $\frac{1}{5}$ der gesamten Sushirolle.

  Andere Anteile als $\frac{1}{5}$ erhält Wasabi, wenn er einzelne Stücke zusammenfasst. Fasst er drei der fünf Teile einer Sushirolle zusammen, beträgt der Anteil $\frac{3}{5}$. Von den fünf Teilen der Rolle sind danach noch zwei Teile übrig. Sie entsprechen einem Anteil von $\frac{2}{5}$. Die Zahl unter dem Bruchstrich entspricht hier immer der Gesamtzahl der Teile, in die Wasabi die Rolle geteilt hat. Die Zahl über dem Bruchstrich entspricht der Anzahl der Teile, die er zusammengefasst hat.

  Nimmt Wasabi zu einer in fünf gleich große Stücke geteilten Sushirolle ein weiteres Stück derselben Größe hinzu, so hat er sechs Stücke, die jeweils ein Fünftel einer ursprünglichen gesamten Rolle ausmachen. Der Anteil entspricht daher dem Bruch $\frac{6}{5}$.

  Schreibst du Anteile mit zwei Zahlen und einem Strich dazwischen, nennt man diese Schreibweise einen Bruch. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler des Bruches, denn sie zählt die Teile, die zusammengefasst werden. Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner, da sie die Art der Anteile benennt. Hat Wasabi die Rolle in fünf gleich große Stücke zerschnitten, so ist Fünftel die Art dieser Teile. Der Nenner dieser Aufteilung ist daher hier immer $5$.

  Der Bruchstrich entspricht einem Geteiltzeichen. Denn wenn Wasabi eine ganze Rolle in fünf Teile teilt, entspricht das der Teilung $1:5$ oder dem Bruch $\frac{1}{5}$. Fasst er zwei solcher Teile zu $\frac{2}{5}$ zusammen, bekommt er den gleichen Anteil wie bei einer Teilung von zwei ganzen Rollen in fünf gleiche Anteile, also $2:5$.

  Ein Bruch mit dem Zähler $1$ heißt Stammbruch. Zwei Brüche mit demselben Nenner heißen gleichnamige Brüche, denn sie gehören zu der gleichen Art von Teilen, die der Nenner benennt. Ein Bruch, bei dem der Nenner größer ist als der Zähler, heißt echter Bruch. Einen echten Bruch kann man nicht als ganze Zahl und auch nicht als gemischten Bruch schreiben.

• Bestimme den noch vorhandenen Anteil.

  Tipps

  Ergänze die Lebensmittel jeweils zu einem Ganzen und zähle dessen Teile. Die Gesamtzahl der Teile ist der Nenner des gesuchten Bruches.

  Der Zähler des gesuchten Bruches ist die Anzahl der noch vorhandenen Stücke.

  In diesem Eierkarton haben $10$ Eier Platz, es sind aber nur $7$ Eier darin. Der noch vorhandene Anteil beträgt daher $\frac{7}{10}$.

  Lösung

  Teilst du ein Ganzes in gleich große Teile, so bestimmt die Gesamtzahl der Teile die Art dieser Teile, die der Nenner benennt. Der Nenner ist also die Gesamtzahl gleicher Teile eines Ganzen. Der Zähler zählt die Stücke, die zu diesem Anteil zusammengefasst sind.

  In der Aufgabe sind verschiedene Lebensmittel aufgeteilt dargestellt. Um die Nenner der Brüche herauszufinden, musst du zuerst die jeweilige Gesamtzahl der Teile bestimmen: Bevor jemand davon genascht hat, hatte die Torte mal $12$ Stücke und der Kuchen mit dem Gittermuster $5$ Stücke. In dem Messbecher sind $7$ gleiche Anteile zu sehen und der Inhalt der Pralinenschachtel bestand ursprünglich aus $8$ gleichen Teilen.

  Um die noch vorhandenen Anteile zu bestimmen, kannst du entweder die vorhandenen Stücke zählen oder die Lücken der fehlenden Stücke zählen und von der ursprünglichen Gesamtzahl abziehen. Du kommst so auf folgende fehlende Anteile:

  • Torte: Hier sind noch $8$ von $12$ Stücken vorhanden, der Bruch beträgt also $\frac{8}{12}$.

  • Pralinenschachtel: Es fehlen bereits $7$ Pralinen, von der ganzen Pralinenschachtel ist also ein Achtel noch vorhanden. Der gesuchte Anteil beträgt demnach $\frac{1}{8}$.

  • Gitterkuchen: Die vorhandenen Stücke lassen sich zu einem ganzen Kuchen ergänzen. Dieser ganze Kuchen ist dann in $5$ gleich große Stücke eingeteilt, von denen hier bereits $2$ fehlen. Der noch vorhandene Anteil beträgt darum $\frac{3}{5}$.

  • Der Messbecher hat $7$ Teilstriche. Er ist aber nur bis zum zweiten Strich gefüllt. Daherist der gesuchte Anteil $\frac{2}{7}$.

• Ermittle den jeweiligen Anteil.

  Tipps

  Jedes Stück der Sushirolle ist $\frac{1}{5}$ der gesamten Rolle.

  Bei den Bruchteilen von der Sushirolle und dem Rote-Bete-Strudel sollen die Zähler gleich sein.

  Lösung

  Wasabi teilt jedes seiner Gerichte in jeweils gleich große Stücke. Die Anzahl der Stücke, die er aus einem Ganzen erhält, bestimmt die Art der Stücke. Die Sushirollen teilt er in Fünftel, die Polentataschen in Viertel. Den Rote-Bete-Strudel teilt Wasabi in Zwölftel und das Heidelbeertörtchen in Sechstel.

  • Der anspruchsvolle Gast verlangt ein Stück Polentatasche, d. h. $\frac{1}{4}$ der gesamten Polentatasche. Du darfst also den Bruch $\frac{1}{4}$ gelb markieren.

  • Der Gast möchte außerdem zwei Stücke von dem Heidelbeertörtchen. Den Anteil kannst du als Bruch schreiben: Der Nenner ist $6$, da Wasabi das Heidelbeertörtchen sechstelt. Der Zähler zählt die Anzahl der Teile, die der Gast auswählt, also $2$. Du kannst demnach den Bruch $\frac{2}{6}$ blau markieren.

  • Der Gast möchte viermal nacheinander ein Stück der Sushirolle. Bei Wasabi ist jedes Stück der Sushirolle genau $\frac{1}{5}$. Vier Stücke der Sushirolle entsprechen dem Anteil $\frac{4}{5}$ der ganzen Rolle.

  • Der Gast will zudem genau so viele Stücke vom Rote-Bete-Strudel wie von der Sushirolle, also $4$ Stücke. Daher hat der Bruch für den Anteil am Rote-Bete-Strudel denselben Zähler wie für den Anteil am Sushi. Der Nenner ist aber jetzt $12$, denn Wasabi teilt den Rote-Bete-Strudel stets in $12$ gleiche Teile. Du kannst also den Anteil $\frac{4}{12}$ violett markieren.

• Definiere die Begriffe.

  Tipps

  Der Bruchstrich besagt, dass die über ihm stehende Zahl durch die unter ihm stehende Zahl dividiert wird.

  $\frac{1}{5}$ ist ein Stammbruch, $\frac{2}{5}$ aber nicht.

  Die Zahl unter dem Bruchstrich benennt die Größe eines Anteils.

  Lösung

  Wasabi denkt über das Aufteilen der Sushirolle nach: Er teilt immer so, dass jedes Stück dieselbe Größe hat. Die Art dieser Anteile benennt er nach der Gesamtzahl, die ein Ganzes ausmachen: Drittel, Viertel, Fünftel usw. Diese Benennung der Art macht den Nenner des Bruches aus. Um den Anteil an einer ganzen Rolle zu bestimmen, muss Wasabi zählen, wie viele Stücke er jeweils zusammengefasst hat. Diese Anzahl ist der Zähler des Bruches. Der Bruch selbst entspricht dem Teilen des Zählers durch den Nenner. Der Bruchstrich steht daher für ein Geteiltzeichen. Ein echter Bruch beschreibt einen Anteil, der wirklich weniger ist als das Ganze, das heißt, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner. So findet Wasabi die folgenden Definitionen:

  • Der Zähler ist die Zahl über dem Bruchstrich.

  • Der Nenner ist die Zahl unter dem Bruchstrich.

  • Der Bruchstrich entspricht einem Geteiltzeichen.

  • Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler $1$.

  • Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner.

• Prüfe die Rechnungen mit Brüchen.

  Tipps

  Gleichnamige Brüche kannst du addieren oder subtrahieren, indem du die Zähler addierst oder subtrahierst und die Nenner beibehältst.

  Sind Zähler und Nenner eines Bruches gleich, so entspricht der Bruch der Zahl $1$.

  Beispiele:

  • $\dfrac{5}{5} =1$
  • $\dfrac{7}{7} =1$
  • $\dfrac{14}{14}=1$

  Lösung

  Bei der Rechnung mit Brüchen kommt es oft vor, dass du Brüche addieren oder subtrahieren willst. Das geht dann am einfachsten, wenn die Brüche in der Summe oder Differenz gleichnamig sind. Das heißt, alle haben denselben Nenner. Andere Summen oder Differenzen kommen in dieser Aufgabe nicht vor.

  Gleichnamige Brüche kannst du addieren und subtrahieren, indem du die Zähler addierst bzw. subtrahierst und den Nenner beibehältst.

  Folgende Gleichungen sind richtig:

  • $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

  Denn ein Stück der Sushirolle und drei Stücke ergeben zusammen vier Stücke, also $\frac{4}{5}$ der ganzen Rolle.

  • $\frac{7}{8} - \frac{8}{8} + \frac{9}{8} = 1$.

  Das Addieren der Zähler ergibt $7-8+9 = 8$, daher ist $\frac{7}{8} - \frac{8}{8} + \frac{9}{8} = \frac{8}{8}$. Und $8$ Stücke einer in $8$ gleiche Teile geteilten Sushirolle sind wieder die ganze Rolle, also $\frac{8}{8}=1$.

  • $2\frac{3}{7} = \frac{17}{7}$.

  Der Bruch $2\frac{3}{7}$ lässt sich zu dem Bruch $\frac{17}{4}$ umformen, denn $2 = 1+1 = \frac{7}{7}+ \frac{7}{7}$, also $2\frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$.

  Folgende Gleichungen sind falsch:

  • $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10}$

  Ein Stück und zwei Stücke der in fünf Teile geteilten Sushirolle ergeben zusammen drei Stücke derselben Rolle, also $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \neq \frac{3}{10}$.

  • $\frac{6}{5} - \frac{4}{5} \neq \frac{5}{4}$

  Die Summe oder Differenz gleichnamiger Brüche ergibt wieder einen gleichnamigen Bruch. Hier ist $\frac{6}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \neq \frac{5}{4}$.

  • $\frac{7}{6} \neq \frac{8}{6} -1$

  Um die $1$ auf der rechten Seite subtrahieren zu können, musst du sie in einen zu den anderen gleichnamigen Bruch umwandeln, also zu $\frac{6}{6}$. Dann ist $\frac{8}{6}-1=\frac{8}{6}-\frac{6}{6}=\frac{2}{6}\neq\frac{7}{6}$.