Wahrscheinlichkeitsrechnung - Grundbegriffe

Hallo,
hier habe ich mal ein paar Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgestapelt. Es sind die grundlegenden Begriffe. Ich möchte sie hier kurz vorstellen und nicht alle bis ins Detail erklären. Dazu gibt es schon Hunderte von Filmen, wenn sie dir völlig neu sind, kannst du da gucken, hier werden sie nur kurz wiederholt. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beginnt mit einem Zufallsexperiment. Das ist ein Experiment, das bei gleicher Durchführung unterschiedliche Ergebnisse haben kann. Man sagt auch Zufallsversuch dazu. Was ist damit gemeint? Das ist ein Würfel. Den Würfel kann ich werfen, dann bleibt er liegen und oben liegt eine bestimmte Zahl von Punkten. Jetzt kann ich den Würfel noch einmal werfen und oben liegt nun eine andere Anzahl von Punkten. Jetzt kann ich sagen, das Zufallsexperiment ist das Werfen des Würfels, die Ergebnisse sind die oben liegenden Punktezahlen und, wie du gerade gesehen hast: Ich habe das Experiment zweimal durchgeführt, zweimal habe ich verschiedene Ergebnisse bekommen - also bei gleicher Durchführung, verschiedene Ergebnisse. Damit ist das Werfen des Würfels ein Zufallsexperiment. Da ist die 4 schon wieder da. Den Begriff "Ergebnis" habe ich hier nicht definiert, den muss man für jeden Zufallsversuch neu definieren. Deshalb kann ich ihn hier nicht allgemein definieren. Man könnte hier bei dem Würfel z. B. auch sagen, dass die unten liegende Punktezahl das Ergebnis ist - kann man machen, wie man will. Deshalb kann man es nicht allgemein definieren.Dann geht es weiter mit dem Hauptbegriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung - nämlich der Wahrscheinlichkeit. Und zwar: die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses. Das ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die einem Ergebnis derart zugeordnet wird, dass die Summe aller Zahlen gleich 1 ist. Das zeige ich noch einmal an einem Beispiel. Das ist nur die Formulierung, für Leute, die das gerne in einem Satz zusammengefasst haben. Ich zeige es jetzt noch einmal grafisch. Ich nehme das Zufallsexperiment "Einmaliges Würfeln". Da haben wir die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, 6. Wenn man sagt, die oben liegende Punktezahl soll das Ergebnis sein - oder sollen die Ergebnisse sein. Dann kann ich denen jetzt Zahlen zuordnen, z. B. jeweils 1/6. Das bekommen die jetzt alle zugeordnet und dann stellst du schnell fest, dass die Summe aller zugeordneten Zahlen gleich 1 ist. Wenn ich die alle addiere, kommt 1 raus. Damit ist, z. B. dieses 1/6, was der 3 zugeordnet wird, die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses 3. So ist das zu verstehen. Die Formulierung ist nicht ganz 100-prozentig exakt, aber ziemlich exakt und sie ist dafür da, damit du eine gute verbale Vorstellung von der Wahrscheinlichkeit hast.So, es geht weiter mit der Ergebnismenge - kleiner Begriff am Rande. Das ist die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments oder auch eines Zufallsversuchs. Hier am Beispiel: 1, 2, 3, 4, 5, 6 sind alle Ergebnisse des Zufallsversuchs "Einmaliges Würfeln". Damit ist diese Menge hier eine Ergebnismenge. Die Menge der Zahlen von 1 bis 6 ist die Ergebnismenge.Ein wichtiger Begriff: Laplace-Experiment. Das ist ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnisse alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das, was wir hier haben, das Würfeln, ist ein Laplace-Experiment, denn jedem dieser Ergebnisse wird dieselbe Zahl bzw. dieselbe Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Von daher ist es ein Laplace-Experiment. Man kann auch andere Zufallsexperimente machen, z. B. wenn man ein Leberwurstbrot wirft und guckt, mit welcher Seite es unten landet. Dann wissen wir alle, die Wahrscheinlichkeit der beiden möglichen Ergebnisse "Landet auf der Leberwurstseite" oder "Landet auf der Nicht-Leberwurstseite" sind nicht gleich groß. Das ist dann kein Laplace-Experiment.Dann kommen wir zu einem häufig missverstandenen Begriff, nämlich dem Ereignis. Das ist eine Menge von Ergebnissen. Vermutlich kommt das Problem daher, dass viele Leute meinen, da müsste etwas Dolles passieren bei dem Ereignis. Da passiert aber nicht viel. Das ist einfach eine Menge von Ergebnissen - nicht mehr und nicht weniger. Das hat man so festgelegt. Den braucht man einfach, diesen Begriff. Ich kann z. B. das Ergebnis 3 und das Ergebnis 6 zusammenfassen zu einer Menge. Das ist eine Mengenklammer, da geht die auf. Da ist die 3 drin und da ist die 6 drin und dann geht die Mengenklammer zu. Das ist ein Ereignis E. Das habe ich jetzt definiert. Hier, das ist eine Menge, da sind 2 Ergebnisse unseres Zufallsversuchs drin. Das ist ein Ereignis - nicht mehr und nicht weniger. Da mache ich noch Beispiele zu, dann wird sich dieser Begriff wohl hoffentlich noch etwas mehr klären.Dann haben wir die elementare Summenregel. Und zwar: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. Das schreibt man P(E). P ist der Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit vom Englischen "Probability". Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, P(E), ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Die Ergebnisse werden meistens mit kleinen Buchstaben e1, e2, e3 bezeichnet und P(e1) ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses e1 und wenn man alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören, addiert, bekommt man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Hier z. B. könnte ich, wenn ich P(E) berechnen möchte, P(3)+P(6), jeweils 1/6, zusammen sind es 2/6, also 1/3. P(E)=1/3.Und dann haben wir die sehr freundliche Laplace-Regel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der Quotient aus der Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ergebnisse und der Anzahl aller Ergebnisse. Wie kann man das verstehen? Hier habe ich ein Ereignis. Zu dem Ereignis gehören 2 Ergebnisse, die 3 und die 6. Wenn ich nun die Anzahl der Ergebnisse, die sich im Ereignis befinden, durch die Anzahl aller Ergebnisse teile - durch 6 - habe ich 2/6. Wie gerade schon besprochen, ist das P(E). 2/6=1/3=P(E).Das kann man sich auch überlegen, warum das immer gelten muss. Wenn ich 100 Lose habe z. B. und ich frage mich: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür? Ich nehme an, die Lose sind von 1 bis 100 nummeriert. Das ich jetzt ein Los mit der Nummer 1 bis 10 habe z. B. Dann habe ich 10 Lose, die zu dem Ereignis "Zahl zwischen 1 und 10" gehören. 10 Lose gehören dazu, 100 Lose habe ich im Ganzen. Dann muss ich einfach, weil es ein Laplace-Experiment ist - ich nehme an, dass alle Lose die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, gezogen zu werden - 10 durch 100 teilen und habe die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, ein Los mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 zu ziehen.
 
Da mache ich noch Übungsaufgaben zu. Bis dahin erst einmal viel Spaß mit den Grundbegriffen, tschüss.