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Transkript Wahrscheinlichkeitsfunktion – Würfel

Hallo, es geht um einen Zufallsversuch und eine dazugehörige Zufallsgröße beziehungsweise eine Zufallsvariable, das ist dasselbe. Es ist eine diskrete Zufallsvariable und es geht außerdem um die Wahrscheinlichkeitsfunktion dieser Zufallsvariable, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung, um die Verteilungsfunktion, usw. und alles was dazu gehört. Ich möchte es an einem ganz einfachen Beispiel zeigen. Das Beispiel ist so einfach, dass man da normalerweise keine Zufallsvariable braucht. Du kannst es einfach so überblicken, aber damit du dich an die Schreibweisen und Denkweisen gewöhnst, kommt hier ein ganz einfaches Beispiel. Das hat mit diesem Würfel zu tun, unser Zufallsversuch ist das einmalige Würfeln. Ich denke es sind aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung die dazugehörigen Zahlen bekannt. Hier möchte ich es aber im Rahmen von Verteilungsfunktionen und Zufallsgrößen zeigen. Wir haben einen Würfel und wenn wir den Würfeln, dann liegt eine der Seiten oben. Die Ergebnisse des Zufallsversuches einmaliges Würfeln, sollen die oben liegenden Seiten sein. Normalerweise sagt man es sind die Augenzahlen, die oben liegen. Ich sage jetzt es sind die oben liegenden Seiten. Warum? Weil ich die Zufallsgröße, oder auch Zufallsvariable definieren möchte. Ich sage jetzt es sind die oben liegenden Seiten. Es ist jetzt ein bisschen umständlich, aber wir haben dann eine schöne Zufallsvariable und können uns die ganzen Bezeichnungen an dieser Zufallsvariable vorstellen. Diese Zufallsvariable hat eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, die nennt sich f(X). Die Zufallsvariable heißt X. Warum die so heißt, weiß ich nicht genau, das hat sich so eingebürgert. Man könnte theoretisch natürlich auch andere Namen verwenden, das ist egal, aber meistens heißt sie bei uns X. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(X) ist folgerndermaßen definiert: f(x)= 1/6 falls X Element von den natürlichen Zahlen 1 bis 6. Die Funktion f(x) hat den Funktionswert 0 bei allen anderen Stellen, oder immer wenn man für X etwas anderes als die Zahlen, 1,2,3,4,5,6 einsetzt. Warum steht hier X und da x? X meint die gesamte Zufallsvariable. Ich sage jetzt es sind die oben liegenden Seiten. Hier stellen wir uns vor das spezielle Zahlen, also bestimmte Zahlen eingesetzt werden. Klein x steht für eine reelle Zahl.  Und diese Sache ist jetzt so zu verstehen, immer wenn wir eine Zahl einsetzen, die eben nicht 1,2,3,4,5,6 ist, dann hat diese Funktion den Funktionswert 0. Bei diesen bestimmten Zahlen gibt es Funktionswerte, und zwar jeweils 1/6.  So und das habe ich nun hier nochmal schön aufgezeichnet. So sieht quasi der Graph oder das Säulendiagramm dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße X aus. Nur bei diesen speziellen Zahlen gibt es Funktionswerte und sonst ist sie überall 0. Ich hätte hier sonst noch überall den roten Strich machen können, um anzudeuten dass da ein Graph ist und eigentlich, wenn es jetzt kein Säulendiagramm ist, müssten hier so Punkte sein. Auch so kann man das schonmal sehen. Dann haben wir einen Graph, der ist überall gleich 0. Dann hat er einen Punkt da ist er 1/6. Dann hat er wieder einen Punkt da ist er 0. Dann hat wieder einen Punkt, da ist er 1/6, usw.. Die Punkte sieht man nicht gut, deshalb habe ich hier das Säulendiagramm. Es gibt zu dieser Situation auch eine Wertetabelle, um die Sache nochmal etwas zu verdeutlichen. Bei - 15 hat diese Funktion den Funktionswert 0, weil -15 kein Element dieser Menge ist, also ist der Funktionswert 0. Bei 0,9 ist der Funktionswert auch 0, das kann man hier auch sehen. Bei 0,9 haben wir keinen weiteren Funktionswert, also der Funktionswert ist da, aber er ist 0. Wenn wir hier 0,9 einsetzen müssen eben nur testen, ist 0,9 ein Element dieser Menge. Nein ist es nicht, also ist der Funktionswert 0. Bei 1 haben wir den Funktionswert 1/6. Da ist es, weil 1 in dieser Menge ist. Bei 1,1 ist er wieder 0. Bei 2,9 ist er auch 0. Bei 3 ist er gleich 1/6, denn 3 ist in dieser Menge. So muss man das sehen, in aller Ausführlichkeit. Noch eine Sache zum Begriff Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es gibt Autoren, die sagen Wahrscheinlichkeitssfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dasselbe und es gibt Autoren, die sagen das ist unterschiedlich. Wenn man jetzt den Funktionscharakter hervorheben möchte, spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. Das ist also das was hier definiert worden ist. Wenn man hervorheben möchte, das es hier eine Wertetabelle gibt, das also alle reellen Zahlen Werte zugeordnet bekommen, und man meint die Gesamtheit, die da zugeordnet wird, also die reellen Zahlen mit den Gesamtheiten, die da zugeordnet werden, spricht man eher von Wahrscheinlichkeitsverteilung. Jetzt werden sicher manche sagen nein, es kommt nicht darauf an, was man meint und was man betonen möchte, sondern das, was mathematisch korrekt ist. Aber hier gibt es dann unterschiedliche Ansichten darüber. Ist mathematisch auch eigentlich egal, ob die eine Sache so oder so heißt. Also es geht um eine Funktion und das ist mathematisch gesehen eigentlich alles. Dann geht es weiter mit ein paar kleinen Formeln, die mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion, bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung zu tun haben. Und zwar können wir hier Werte einsetzen, und zwar die Zahlen 1,2,3,4,5,6 und die Funktionswerte alle addieren. Das ist groß Sigma, griechischer Buchstabe, steht für das Addieren, oder steht für die Summe. Das ist das Summenzeichen. Hier steht i=1 und da 6, das bedeutet man fängt bei i=1 an und setzt für i 1 ein, bildet den Funktionswert. Dann macht man weiter mit i=2, bildet den Funktionswert. Dann setzt man die 3 ein, bildet den Funktionswert, usw. bis man bei 6 angekommen ist, also die 6 setzt man auch noch ein, und dann addiert man alle Funktionswerte, die so entstanden sind. Und da kommt 1 raus. Es geht ja um Wahrscheinlichkeiten. Die Gesamtheit aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsversuches ist 1. Man kann das auch anders schreiben. Meistens steht dann hier f(xi). X_i, also der Index ist gleich der Zahl, der etwas zugeordnet wird. Deshalb kann man es in dem Fall auch so schreiben. Meistens schreibt man es so. Die x_i sollen jetzt den Zahlen sein, denen positive Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Das sind sechs Zahlen und deshalb kann man hier davon sprechen, das i von 1 bis 6 geht. Die Summe von dieser Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1. Man kann es auch anders aufschreiben und zwar kann man alle Zahlen, die sich auf der reellen Achse befinden nehmen und alle hier einsetzen. Wenn man alle Funktionswerte, die so entstehen addiert, hier mit dem großen Sigma, dem Summenzeichen, dann kommt auch 1 raus, weil ja an allen anderen Stellen, die nicht 1,2,3,4,5,6 sind, die Funktion gleich 0 ist und das kann man ruhig addieren. Dann kommt immernoch 0 raus. Nur an den Stellen ist sie halt ungleich 0 und dann kommt eben 1 raus. Das ist ein bisschen ein Auffassungsproblem, ein kleiner Unterschied in der Auffassung. Sagt man jetzt es sind ja, f sind ja für alle reellen Zahlen definiert, dann kann ich auch die Funktionswerte aller reellen Zahlen aufsummieren. Man kann sich aber auch sagen, naja ich habe ja nur ein paar Punkte, an denen sich Wahrscheinlichkeiten befinden und dann summiere ich nur diese hier und komme zum selben Ergebnis. Ist Ansichtsache wie man das am Schönsten haben will.

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