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Transkript Wahrscheinlichkeit und Kolmogoroff-Axiome

Hallo, die Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, bzw. kann eine Zahl von 0 bis 1 sein (0 und 1 sind ja eingeschlossen). Hier habe ich mal eine Situation allgemein bereitgestellt, in der man das vielleicht verstehen kann, was das soll. Wir haben Ergebnisse eines Zufallsversuchs e1 bis en. Diese Ergebnisse zusammen bilden das Ω, also unsere Grundmenge. Ich habe es hier nur für endlich viele Ergebnisse gezeigt, es gibt ja auch Zufallsversuche, die unendlich viele Ergebnisse haben. Diesen Ergebnissen werden Zahlen zugeordnet, und zwar Zahlen von 0 bis 1, oder Zahlen zwischen 0 und 1, kann man sagen, wobei 0 und 1 auch eingeschlossen sind. Diese Zahlen P(e1), P(e2), P(e3)  werden also diesen Ergebnissen zugeordnet, und das sind die Wahrscheinlichkeiten. P ist eine Funktion, die also diesen Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuordnet. Dann haben wir gesagt, alle Ergebnisse zusammen sollen addiert 1 ergeben. Die Summe aller Ergebnisse ist 1. Das schreibt man hier mit diesem Summenzeichen. Das ist der griechische Großbuchstabe Sigma und die Summe soll gleich 1 sein. Da steht es. Dann wollen wir den Ereignissen auch Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Ich habe das hier einmal in  einem ganz einfachen Fall so angedeutet: Wir haben ein Ereignis E mit den Indizes 1,2, soll jetzt heißen in dem Ereignis E1,2 sind die Ereignisse e1 und e2 enthalten und z.B. können wir diesem Ereignis auch eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Wir können P von diesem Ereignis bestimmen. Das macht man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse addiert, die zu E1,2 gehören. In dem Fall sollen das e1 und e2 sein. Diese Wahrscheinlichkeiten müssen wir addieren und das ist dann die Wahrscheinlichkeit von E1,2. Nun kann man das viel, viel allgemeiner fassen in Form der Kolmogoroff-Axiome. Kolmogoroff war ein Mathematiker und der hat das viel, viel allgemeiner gemacht als diese Situation hier und die möchte ich jetzt mal zeigen: Ich habe aber das hier auch so aufgeschrieben, weil das eine Möglichkeit für dich ist, die Sache vielleicht etwas einfacher vor Augen zu haben. Für sehr viele Fälle, die du behandeln wirst, ist das hier völlig ausreichend und auch richtig. Die Kolmogoroff-Axiome sind dafür da, um richtig handfeste Mathematik zu machen und die Sache richtig zum Erblühen zu bringen. Wenn du etwas anwenden willst, ist das hier wohl eher das, was du brauchst. Schauen wir uns das jetzt mal an, Kolmogoroff-Axiome ist das Thema. Da gibt es das Axiom 1: P(A)>=0, und A soll eine Teilmenge von Ω sein. Das ist also hier unser E1,2, irgendein Ereignis, eine Teilmenge von Ω, bekommt eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Kolmogoroff sagt jetzt in seinem ersten Axiom, dass diese Wahrscheinlichkeit P(A), die zugeordnet wird, nicht negativ sein soll. Sie soll positiv oder 0 sein. Das nennt sich Positivität. Hier steht P(A)>= 0, es kann also auch sein, dass ein Ergebnis, die Zahl 0 zugeordnet kriegt, obwohl hier Positivität steht. Dann gibt es das Axiom der Normiertheit, das ist das zweite  Axiom, und zwar  P(Ω) soll gleich 1 sein. Wir können alle Ergebnisse zu einem Ereignis zusammenfassen und dann erhalten wir Ω. Ω besteht ja aus allen möglichen Ergebnissen. Auch diesem Ω können wir eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Wenn wir uns daran halten, dass die Wahrscheinlichkeit, die einem Ereignis zugeordnet wird, aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse bestehen soll, die Elemente dieses Ereignisses sind, dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse hier addieren. Und das haben wir schon gesagt, das ist 1. Bei Kolmogoroff ist das hier das 2. Axiom P(Ω)=1 und das heißt Normiertheit. Dann haben wir ein etwas komplizierteres Axiom, das steht hier. Das ist das Axiom 3 und das ist auch schon das Letzte. Und zwar wird hier behauptet: wir haben zunächst mehrere Mengen, die mit Ai bezeichnet werden. Diese Mengen sollen disjunkt sein, d.h. sie haben keine gemeinsamen Elemente. Es geht um jede Folge von solchen Mengen. Eine Folge von Mengen sind einfach mehrere Mengen hintereinander, egal wie man die jetzt definiert, und zwar unendlich viele. Wir können eine Vereinigung bilden aller dieser Mengen, die in einer solchen Folge enthalten sind und das ist das, was hier steht: die Vereinigung aller Mengen Ai, die in einer solchen Folge sich befinden können. Dieser Vereinigung von Mengen wird jetzt auch eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, und zwar soll es die Wahrscheinlichkeit sein, die sich ergibt, wenn man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Mengen, die sich in dieser Folge befinden, addiert. Das steht hier. Also das ist jeweils die Wahrscheinlichkeit einer Menge der Folge und hier das Summenzeichen heißt eben, dass alle Wahrscheinlichkeiten addiert werden. Das nennt sich σ-Additivität. Diese σ-Additivität ist etwas komplizierter als das, was wir hier stehen haben. Wir brauchen aber hier in diesem Rahmen keine σ-Additivität, weil wir nur endlich viele Ergebnisse haben. Das vereinfacht die Sache enorm. Aber mit den Kolmogoroff-Axiomen kann man dann viel mehr rechnen, als das, was ich hier gezeigt habe. Ich will jetzt an dieser Stelle nicht weiter drauf eingehen, warum die Kolmogoroff-Axiome so sind, wie sie sind. Wichtig ist nur, dass du sie zunächst einmal gesehen hast. In dem Rahmen, in dem wir uns hier befinden, reicht das erst Mal, um weiter arbeiten zu können. Viel Spaß damit, tschüss    

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1 Kommentar
  1. Default

    ich mag den tutor

    Von Bpjung, vor mehr als 3 Jahren