Wahrscheinlichkeit - Grundlagen Teil 4 - Beispiele, Laplace-Versuch

Hallo. Hier möchte ich noch abschließend ein paar Beispiele zeigen, wie du die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen kannst. Zum Beispiel könnte ich hier das Ereignis E2 definieren.
Das Ereignis E2 kann man beschreiben, als eine Primzahl wird gewürfelt. 2, 3 und 5 sind ja die Primzahlen, die man mit einem solchen Würfel würfeln kann. Und die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses rechnet man aus, indem man sich überlegt, wie viele Ergebnisse gehören zu dem Ereignis. Ein Ereignis ist ja eine Teilmenge von den Ergebnissen oder eine Menge, in denen Ergebnisse vorkommen.
Wie viele kommen darin vor? Das kommt in den Zähler, diese Zahl. Nämlich es sind 3 Ergebnisse. Das Ereignis E2 besteht aus 3 Ergebnissen, deshalb kommt in den Zähler eine 3. Ich überlege mir, ich habe hier das Zufallsexperiment "einmaliges Werfen eines Würfels". Das hat hier in unserem Fall 6 Ergebnisse. 6 Ergebnisse sind alle möglichen Ergebnisse, also kann ich hier durch 6 teilen und kürzen. Und damit ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E2=1/2.
Angewendet habe ich diese Formel hier: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Anzahl der zum Ereignis gehörenden Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Man sagt auch zu dem Zähler n: die Anzahl aller günstigen Ergebnisse. Man meint damit also die Ergebnisse, die zu E gehören. Diese Formel kann man aber nur anwenden, wenn es sich um Laplace-Experimente handelt, das bedeutet: Ein Zufallsversuch, dessen Ergebnisse alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Da kann man das anwenden, diese schön einfache Formel. Ich möchte noch ein Ereignis definieren. Zum Beispiel man würfelt eine Zahl < 3: Z < 3 kann man schreiben. Warum nicht? Und es gibt mehrere Versionen von diesen Standardformulierungen, wie man ein Ereignis formuliert und wie man es aufschreibt. Ich möchte es jetzt einfach einmal so aufschreiben, weil ich es dazu auch erkläre. Ich kann es sowieso nicht allen recht machen, weil auch viele Lehrer sagen: "Also du musst es aber so aufschreiben", oder "Da gehört noch eine Mengenklammer hin", oder "Man darf die Mengenklammer gar nicht reinschreiben". Da haben mehrere Lehrerinnen und Lehrer ihre eigene Version, die auch nicht völlig willkürlich ist. Ich möchte also keinen hier jetzt irgendwie vor den Kopf stoßen. Nur es gibt unterschiedliche Versionen darüber und deshalb weiß ich jetzt nicht, welche ich zeigen soll. Ich zeige einfach mal diese hier, dass man das einfach so salopp hineinschreibt. Hier ist also gemeint, wir haben das Ereignis: Es wird eine Zahl < 3 gewürfelt und wir suchen P von diesem Ereignis, also P von Probability aus dem Englischen: die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses suchen wir. Wir wissen schon, es ist ein Laplace-Versuch. Also müssen wir uns nur noch überlegen, wie groß ist die Anzahl der Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehört.
Nun, die Zahlen < 3 sind hier 1 und 2. 3 gehört nicht mehr dazu, weil 3 nicht < 3 ist. Also gehören die beiden Ergebnisse 1 und 2 dazu. Das sind zusammen 2 Ergebnisse und die werden geteilt durch alle möglichen Ergebnisse, das sind 6 Ergebnisse. Also 2/6, was gleichbedeutend ist mit 1/3.
Und weil wir schon einmal dabei sind, könnte ich auch noch das Ereignis definieren: Das Ereignis eine Zahl >= 3 wird gewürfelt und jetzt hier hinschreiben, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses. Wir wissen ja hier, es geht um ein Laplace-Experiment. Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Dann muss ich mir nur überlegen, wie viele Ergebnisse gehören denn dazu. Eine Zahl >= 3 das ist die 3 selber, es ist die 4, die 5 und die 6. Das bedeutet, wir haben also 4 Zahlen, die 4 Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören und wir haben im Ganzen 6 mögliche Ergebnisse, also sind das 4/6, das bedeutet 2/3.
Und da kann man auch sehen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren dieser beiden Ereignisse. Da werde ich später noch drauf eingehen, auf das Gegenereignis usw. Hier soll nur einmal interessant sein, wie kann man Ereignisse definieren und wie kommt man zu Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, wenn es sich um Laplace-Experimente handelt. Da kann man nämlich dann diese Formel anwenden:
Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse.
Das soll wohl reichen für das erste Beispiel. Viel Spaß mit den nächsten. Bis bald. Tschüss.