Wahrscheinlichkeit - Grundbegriffe - Beispiel - Würfel ziehen 2

Hallo,
hier kommt eine kleine Aufgabe zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ja, vielleicht hast Du das schon gesehen, ich habe schon einen anderen Film dazu gemacht, zu diesen Würfeln hier.
Wir haben also 9 schwarze Würfel, 6 grüne Würfel, 4 rote Würfel und einen goldenen Würfel. Die kommen alle hier in diesen goldenen Behälter und jetzt kann man sich ein Zufallsexperiment vorstellen, nämlich einmaliges Ziehen eines Würfels aus diesem Behälter. Ich habe einen Grünen gezogen und wir können uns die Frage stellen: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Würfel zu ziehen?" Und im letzten Film habe ich gesagt, es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man die Ergebnisse definieren kann. Und jetzt zeige ich die andere Möglichkeit, die ich im letzten Film nicht gezeigt habe. Wir müssen trotzdem von vorne anfangen, uns überlegen, was ist das Zufallsexperiment.
Nun, das Zufallsexperiment ist das einmalige Ziehen eines Würfels aus diesem goldenen Behälter. Und gerade habe ich einen grünen Würfel gezogen, jetzt habe ich einen schwarzen Würfel gezogen. Das scheinen wohl unterschiedliche Ergebnisse zu sein, aber da kommen wir nämlich jetzt zur Frage: "Was sind denn eigentlich die Ergebnisse?"
Man könnte sagen - und damit auch was ist die Ergebnismenge, das ist ja auch die Frage - man könnte sagen, die einzelnen Würfel hier sind die Ergebnisse. Dieser Würfel und dieser ist ein Ergebnis, das ist auch ein Ergebnis. Man könnte aber auch sagen, die einzelnen Farben sind die Ergebnisse. Ja, da müsste ich, wenn ich jetzt hier reingreife und einen Würfel ziehe, müsste ich nicht sagen, ich habe hier diesen Würfel gezogen, sondern ich müsste sagen, ich habe Schwarz gezogen und jetzt habe ich Rot gezogen und jetzt habe ich Gold gezogen. Also, die Ergebnisse sind die Farben, das geht.
Dann kommen wir zu der Frage: "Was sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Farben?" Ja, Du siehst, auch bei kleinen Aufgaben muss man sich immer konzentrieren, muss sich das immer genau überlegen, was die Begriffe sind, was Ergebnisse sind, was die Ereignisse sind usw.
Wenn es ein Laplace-Experiment ist, ist die Sache einfach, die Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen zu den einzelnen Ergebnissen. Aber in dem Fall würd ich sagen, das ist kein Laplace-Experiment. Das wäre ja Unsinn, wenn die Farbe Gold genauso wahrscheinlich wär, wie die Farbe Schwarz - manche sagen Gold und Schwarz sind keine Farben, okay, ich sage jetzt einfach, es sind Farben.
Das heißt, ich muss mir jetzt überlegen, wie kann ich hier Wahrscheinlichkeiten verteilen, damit ich weiter rechnen kann. Die Wahrscheinlichkeit aller Wahrscheinlichkeiten, die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, muss 1 ergeben und ich möchte hier die Zahlen der Wahrscheinlichkeiten so verteilen, dass sie proportional zur Anzahl der Würfel sind.
Zum Beispiel möchte ich, dem Ergebnis Schwarz die Wahrscheinlichkeit 0,45 geben, weil das 9/20 sind. Und hier, die kriegen 6/20, die Grünen, also nicht die, sondern das Ergebnis Grün, bekommt die Wahrscheinlichkeit 6/20, also 0,3. Das Ergebnis Rot bekommt die Wahrscheinlichkeit 0,2 und das Ergebnis Gold bekommt die Wahrscheinlichkeit 1/20, also 0,05.Ja, Du siehst, auch bei kleinen Aufgaben muss man sich immer konzentrieren, muss sich das immer genau überlegen, was die Begriffe sind, was Ergebnisse sind, was die Ereignisse sind usw.
Ja, vielleicht mag sich jetzt mancher fragen, woher weiß ich das, dass das stimmt. Ich gehe mal davon aus, dass das so ist und wenn die Aufgaben so gestellt sind, also so kurz und knapp, geht es darum, eben zu zeigen, dass man weiß, wie man solche Wahrscheinlichkeiten verteilen kann. Die Diskussion, ob die Wirklichkeit mit diesen konkreten Würfeln, hier in dieser Situation, tatsächlich mit diesen Wahrscheinlichkeiten übereinstimmt, möchte ich dann hier nicht führen. Die kann man dann an anderer Stelle führen, nicht bei diesen kleinen Einführungsaufgaben.
So, nachdem die Wahrscheinlichkeiten verteilt sind, ist jetzt die Frage: "Was ist denn unser Ereignis?" Wir haben ja in der Aufgabenstellung gehabt, "Wahrscheinlichkeit dafür, einen grünen Würfel zu ziehen".
Da wir jetzt gesagt haben, die einzelnen Ergebnisse sind die Farben, gehört zu dem Ereignis Grün nur ein einziges Ergebnis, und zwar die Farbe Grün. Es gehören nicht die einzelnen Würfel dazu, denn die einzelnen Würfel sind ja gar keine Ergebnisse in der Situation, wie wir es hier definiert haben.
Also, wir haben ein Ereignis. Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen, deshalb geht hier die Mengenklammer auf. In dieser Menge befindet sich ein einziges Ergebnis, nämlich die Farbe Grün. Und dann geht die Klammer wieder zu. Ich möchte in dem Zusammenhang darauf hinweisen, dass ein Ereignis trotzdem eine Menge ist. Das Ereignis selber ist nicht das Ergebnis Grün, sondern das Ereignis ist die Menge, die das Ergebnis Grün enthält. Okay?
Es gibt auch, sag ich mal, eine Flasche Bier. Da ist auch das Bier drin und die Flasche und das ist unterschiedlich. Also, die Flasche ist das Ding, was das Bier enthält und nicht das Bier selber. Vielleicht ein unpassender Vergleich, aber egal, jetzt ist es heraus. Das Ereignis ist die Menge. Die enthält die Farbe Grün - das Ergebnis Grün. Es kann also vorkommen, allgemein gesagt, dass ein Ereignis nur ein einziges Element enthält. Es kann auch sein, dass ein Ereignis überhaupt gar kein Element enthält, dann ist es das unmögliche Ereignis, also eine leere Menge.
Wenn wir jetzt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bestimmen wollen, dann brauchen wir diese Summenregel eigentlich gar nicht, weil ja nur ein einziges Ergebnis dazugehört. Dann muss man einfach die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses bestimmen und kennt dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Die Laplace-Regel kann ich hier unten lassen, denn die brauchen wir jetzt eh nicht, da es ja kein Laplace-Versuch ist. Und wir haben das schon festgelegt, die Wahrscheinlichkeit für Grün ist 0,3 und damit hat das Ereignis "Grüner Würfel" die Wahrscheinlichkeit 0,3.
Ja, Du siehst, auch bei kleinen Aufgaben muss man sich immer konzentrieren, muss sich das immer genau überlegen, was die Begriffe sind, was Ergebnisse sind, was die Ereignisse sind usw. Zu Rechnen ist meistens nicht viel, aber die Begriffe sind wichtig und die muss man sehr, sehr genau jeweils verwenden.
Viel Spaß damit, tschüss.