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Transkript Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (4)

Hallo! Eine Funktion ist gegeben und wir suchen die Extrema, und zwar mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums. Die Funktion lautet f(x) = 1/3x3 - 9x. Wir brauchen zunächst die erste Ableitung, also f'(x) = x2 - 9. Wir müssen diese Ableitung gleich 0 setzen, weil ja nur an Nullstellen der ersten Ableitung sich Extrema befinden können. Und das macht man in dem Fall natürlich nicht in dem man eine quadratische Gleichung löst, sondern man sieht gleich, dass man die dritte binomische Formel anwenden kann, die solltest du bitte noch parat haben. Und dann kann man x2 - 9 umwandeln in (x + 3) × (x - 3). Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, x + 3 = 0, wenn x = -3 ist und x - 3 = 0, wenn x = +3 ist. Also, wir haben genau zwei Nullstellen der ersten Ableitung, hier hab ich die mal angedeutet, da sind die Nullstellen. Wir wissen jetzt, da die Funktion keine Sprünge macht und da sie keine weiteren Nullstellen hat, gilt: Das rechts dieser größten Nullstelle, ist die Funktion, also die erste Ableitung entweder überall positiv oder überall negativ. Zwischen diesen beiden Nullstellen ist sie entweder überall positiv oder überall negativ. Links der kleinsten Nullstelle ist sie überall positiv oder negativ. Wenn wir jetzt wissen wollen, liegt zum Beispiel bei -3 ein Vorzeichenwechsel vor, müssen wir nur wissen, ist sie links davon positiv oder negativ und ist sie rechts davon positiv oder negativ. Dafür reicht es, dass wir einen einzigen Funktionswert ausrechnen, der hier liegt und der da liegt, also links und rechts der Nullstelle. Das hab ich hier gemacht, ich hab -4 genommen, also f'(-4) hab ich ausgerechnet, -4 liegt ja links dieser Nullstelle, da kommt raus, also (- 4)2 -  9 = 7. Und das ist positiv, das heißt, die erste Ableitung verläuft links der Nullstelle positiv. Dann hab ich 0 eingesetzt, 0 liegt ja rechts dieser links liegenden Nullstelle der ersten Ableitung. Und wenn man den Funktionswert bei 0 ausrechnet, kommt -9 raus. Also geht die erste Ableitung, wenn man jetzt von links nach rechts guckt, vom positiven ins negative über. Das heißt, wir haben einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus an der Stelle x = -3.  Dann geht die hier irgendwie so weiter und wir wissen jetzt auch, weil wir 0 schon eingesetzt haben, dass die Funktionswerte der ersten Ableitung links der größeren Nullstelle negativ sind. Die Frage ist, was machen die Funktionswerte der ersten Ableitung rechts davon? Ich hab 4 eingesetzt, in die erste Ableitung. Die Rechnung ist 42 - 9 = 7. Das heißt, hier geht es positiv weiter, also wir haben auch bei 3 einen Vorzeichenwechsel, diesmal aber von - nach +. Und das bedeutet nun im Ganzen, wir haben ein Maximum und ein Minimum. Wir haben ein Maximum bei -3, der Funktionswert ist 18. Wir haben ein Minimum bei +3, der Funktionswert ist -18. Noch kurz zur Veranschaulichung, wie kann man sich das vorstellen? Links von -3 ist die Ableitung positiv, das heißt, die Ausgangsfunktion steigt. Rechts von -3 ist ja die Ableitung negativ, das heißt, die Ausgangsfunktion fällt, muss also zwischendurch ein Maximum gewesen sein, bei Minimum umgekehrt. Hier fällt die Funktion, da steigt die Funktion, zwischendrin ist das Minimum und damit soll es an dieser Stelle gut sein. Viel Spaß damit. Tschüss     

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