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Transkript Vorzeichenwechselkriterium – Beispiel (1)

Wir machen Bestimmung von Extrema einer Funktion mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums. Ich hab hier schon mal eine glückliche Funktion gezeichnet, die hat die Funktionsgleichung y = 3. Ich kann auch den Funktionsterm hinschreiben, dann haben wir f(x) = 3. Wenn Du das x vermisst, man kann es auch dahinter schreiben wenn man möchte, also 3 x ^0. x0 ist ja immer gleich 1: 3 × 1 = 3. Jetzt können wir die Ableitung bilden. f'(x). Wenn man  3 ableitet kommt 0 raus. Oder wenn man 3 × x0 ableitet kommt auch 0 raus. Wir müssen jetzt kucken ob die Ableitung an den Nullstellen ein Vorzeichenwechsel hat. Die Ableitung ist überall Null, sie hat keinen Vorzeichenwechsel, es gibt ja keine Funktionswerte der Ableitung, die größer oder kleiner als Null sind, also kann sie keinen Vorzeichenwechsel haben. Die Frage ist da jetzt offensichtlich, da das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist: Haben wir hier denn ein Maximum oder ein Minimum? Und da weiß ich aus Erfahrung dass da viele gleich sagen: Nein haben wir gar nicht, ist ja konstant, kann ja nicht sein. So, ist ja aber nicht so: Nämlich, ich kram' noch mal die Definition des Maximums raus: Ein Definitionswert von f(x)0, ich mal das gleich mal mit hier, zum Beispiel der hier, das ist ein Funktionswert, hier ist x0, also f(x)0 ist ein Maximum, wenn es eine Umgebung um x0 gibt, also U von x0. Jo, mach ich - das ist eine Umgebung - hier ist das Intervall, x0 ist da drin und das ist eine Umgebung von x0. Also eine Umgebung muss es geben, sodass für alle x ? dieser Umgebung, also z.B. für dieses x oder dieses x gilt: f(x), also dieser Funktionswert hier, der oder auch der: f(x) ? f(x)0: kleiner sind die nicht aber gleich. Also ist das erfüllt. Das gilt auch für alle x in dieser Umgebung, dass f(x) gleich f(x)0 ist, von daher haben wir da ein Maximum. Das hier ist ein Maximum, das ist auch ein Maximum, da kann ich ja das gleiche machen: Hier auch, hier auch. Überall sind Maxima. Diese Funktion besteht nur aus Maxima. Damit nicht genug. Sie besteht ja auch aus Minima. Das kann man jetzt genau so durchgehen, ist ja alles wie vorher. Nur die Funktionswerte müssen größer oder gleich sein. Das sind sie auch, sie sind größer oder gleich. Diese Funktionswerte hier zum Beispiel, sie sind größer oder gleich f(x)0, das ist richtig und deshalb besteht diese Funktion hier nur aus Minima und gleichzeitig auch aus Maxima. Das sind natürlich keine strengen Minima und auch keine strengen Tiefpunkte und das sind auch keine strengen Maxima und keine strengen Hochpunkte im Sinne: Also ein strenger Hochpunkt ist ja: Also hier oben ist ein strenger Hochpunkt, wenn in der Umgebung um diesen Hochpunkt alle Funktionen, sodass alle Funktionswerte um diesen Hochpunkt echt kleiner sind. Dann ist es ein strenger Hochpunkt. Haben wir hier nicht, trotzdem ist es aber ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt und ein Maximum, obwohl das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist. Das nur so als Beispiel, wie man sieht es funktioniert nicht immer. Man kann natürlich ein paar Funktionen ausschließen, zum Beispiel diese Funktion ausschließen. Oder man kann auch sagen wir beschränken uns im Weiteren auch auf die stetig differenzierbaren Funktionen. Das kommt drauf an wie Du das in der Schule machst, ich möchte da von dieser Stelle nicht allzu viel sagen. An der Uni, wenn Du jetzt Mathe studierst, da wird das eh anders gemacht. Da spielt das Vorzeichenwechselkriterium kaum eine Rolle.

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