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Transkript Vorzeichenwechselkriterium

Hallo! Mit dem Vorzeichenwechselkriterium kann man Extrema von Funktionen bestimmen. Abgekürzt wird das Vorzeichenwechselkriterium mit VZW. Genauer bedeutet das, wir haben eine Funktion f(x). Die habe ich jetzt hier nicht aufgeschrieben, irgendeine. Wir bilden die Ableitung. Wenn die Ableitung an einer bestimmten Stelle gleich 0 ist und diese Ableitungsfunktion einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus hat, dann hat die Ausgangsfunktion, also f(x), an dieser Stelle ein Minimum. Wenn die 1. Ableitung gleich 0 ist an einer bestimmten Stelle und an dieser Stelle die 1. Ableitung einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat, dann hat die Ausgangsfunktion f(x) an dieser Stelle, wo die erste Ableitung gleich 0 ist, ein Maximum. Ich möchte kurz zeigen, wie man sich das vorstellen kann, was das ganze soll. Möchte ich nur kurz machen, weil ich das an anderer Stelle schon ausführlich gemacht habe. Deshalb nur hier zur Klärung der Situation. Wir nehmen uns hier eine y-Achse und zwei x-Achsen. Wir haben eine Ableitungsfunktion, die soll sich hier befinden, und dich fange hier mal an mit dem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Links der Nullstelle soll also die 1. Ableitung negativ sein. Wenn wir sagen, es ist ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, dann meinen wir immer, dass wir die x-Achse von links nach rechts entlanggehen, dann ist es links der Nullstelle negativ und rechts der Nullstelle positiv. Das heißt, die Ableitungsfunktion kann also zum Beispiel so aussehen. Das würde bedeuten für die Ausgangsfunktion, dass an dieser Stelle die Ausgangsfunktion erst einmal eine Steigung von 0 hat, das heißt ungefähr so verläuft, denn die Ableitung ist ja gleich 0. Links dieser Nullstelle der 1. Ableitung ist ja die Ableitung negativ, das bedeutet, dass die Ausgangsfunktion hier ein Gefälle hat. Rechts davon ist die Ableitung positiv. Das bedeutet, dass auch die Ausgangsfunktion hier eine positive Steigung hat. Und wie man sieht, haben wir hier das Minimum und so kann man sich das vorstellen, dass da wirklich ein Minimum herauskommt, wenn die erste Ableitung = 0 ist und sie einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus an dieser Stelle hat. Den anderen Fall zeige ich auch noch ganz kurz. Wir nehmen wieder eine y-Achse und zwei x-Achsen dazu. Wir haben eine Nullstelle der ersten Ableitung. Hier befindet sich wieder die 1. Ableitung und wir haben einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Mache ich mal ganz schnöde hier mit einer fast geraden Linie. Das bedeutet für die Ausgangsfunktion an dieser Stelle, zum Beispiel hier, das kann im Negativen sein, ist die Ableitung gleich 0, das heißt, die Funktion hat hier keine Steigung und verläuft ungefähr so. Links davon ist die Ableitung positiv, das heißt, die Ausgangsfunktion steigt. Rechts davon ist die Ableitung negativ, das heißt, die Ausgangsfunktion hat eine negative Steigung, sie fällt, und damit haben wir an dieser Stelle hier ein Maximum. Ja, und das ist das Vorzeichenwechselkriterium. Klarer geht es, glaube ich, nicht. Ich möchte jetzt eben mal einem Beispiel noch zeigen, wie man das ausrechnen kann, wie man da also rechnerisch zu Potte kommt. Wir nehmen da eine unverfängliche Funktion f(x)=-(1/5x)²+3x, bilden die 1. Ableitung f'(x)=-2/5x+3. Dann bestimmen wir die Nullstelle, bzw. die Nullstellen der 1. Ableitung, indem wir nämlich diesen Term hier gleich 0 setzen. Hier haben wir nur eine einzige Nullstelle, die ist bei 15/2, beziehungsweise bei 7,5. Dann müssen wir gucken, ob die 1. Ableitung an der Stelle 15/2 einen Vorzeichenwechsel hat. Wir wissen, die Funktion f'(x)=-2/5x+3 ist eine lineare Funktion, das bedeutet, links der Nullstelle hat diese Funktion entweder nur positive oder nur negative Funktionswerte, also hier diese 1. Ableitung, rechts der Nullstelle hat diese 1. Ableitung entweder nur positive oder nur negative Funktionswerte. Ich nehme also irgendeinen Funktionswert links der Nullstelle, die Nullstelle ist bei 7,5.Dann müssen wir gucken, ob die Ableitungsfunktion 15/2 einen Vorzeichenwechsel hat.Wir wissen, die Funktion f'(x)=-2/5x+3 ist eine lineare Funktion. Das bedeutet, links der Nullstelle hat die Funktion entwerde nur positive oder negative Funktionswerte, also hier diese erste Ableitung. Rechts der Ableitung hat diese Ableitung entweder nur positive oder negative Funktionswerte. Ich nehme also irgendeinen Funktionswert links der Nullstelle. Die Nullstelle ist bei 7,5 - ich nehme mal die 0, die liegt links von 7,5, und rechne den Funktionswert der 1. Ableitung an der Stelle 0 aus, das ist 3. Habe ich hier gemacht. Dann nehme ich einen x-Wert, der rechts der Nullstelle der 1. Ableitung liegt, zum Beispiel 10 und rechne den Funktionswert der ersten Ableitung bei 10 aus, der ist -1. Das bedeutet, links davon, also links von 7,5, hat die 1. Ableitung positive Funktionswerte und rechts davon, von 7,5, hat sie negative Funktionswerte. Das heißt, wir haben also einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus, und das bedeutet laut Vorzeichenwechselkriterium, wir haben ein Maximum. Habemus Maximum. Um den y-Wert des Maximums zu bestimmen, müssen wir dann 15/2, bzw. 7,5 in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzen. Das habe ich hier gemacht und heraus kommt, weiß ich nicht mehr, habe ich mir aufgeschrieben 11,25. Also ein Hochpunkt, so heißt ja ein Maximum auch, hat die Koordinaten (7,5|11,25). Der Funktionsgraph von f(x) sieht ungefähr so aus. Es ist eine Parabel, und die hat bei 7,5, das ist ungefähr hier, ein Maximum. Ja, das war's fast zu diesem Vorzeichenwechselkriterium. Eine kleine Sache noch. Ich habe jetzt nur dargestellt, was passiert, wenn das Vorzeichenwechselkriterium erfüllt ist, dann kann man daraus schließen, dass sich dort ein Maximum oder Minimum befindet, dort, wo eben das Vorzeichenwechselkriterium erfüllt ist. Die andere Frage ist natürlich: Was folgt, wenn das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist. Heißt es dann, dass dort auch kein Minimum oder Maximum ist? Und dazu muss ich sagen, das hängt davon ab, welche Funktionen man zulässt, wie genau man Maximum und Minimum definiert, ob man sich zum Beispiel auf stetig, differenzierbare Funktionen beschränken möchte oder nicht oder wenn man sich gar auf ganzrationale Funktionen beschränken möchte, zum Beispiel die einen Grad von mindesten 1 haben, dann sieht die Sache jeweils sehr unterschiedlich aus. Da ich nicht genau weiß, wie du das in der Schule machst, würde ich sagen, frage bitte deinen Lehrer danach, wie ihr das macht, ob es eine Genau-Wenn-Bedingung ist oder nicht, oder ob man irgendetwas daraus folgern kann, wenn das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist, hier von dieser Stelle aus, kann ich da nicht so viel dazu sagen, da es eben vom konkreten Unterrichtsstoff abhängt. Ich Allgemeinen kann ich wohl sagen: Daraus, dass das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist, folgt erst einmal gar nichts. Das ist der ganz allgemeine Fall, hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt. Viel Spaß damit. Tschüss.

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