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Transkript Von der Parameterform in die Normalenform – Aufgabe 2

Hallo, wir wollen eine Ebene in Normalenform bestimmen und gegeben ist eine Ebene in Parameterform. Und hier ist die Ebene in Parameterform und die soll jetzt in eine Normalenform umgeformt werden. Hier haben wir den Stützvektor und einen Richtungsvektor und noch einen Richtungsvektor wie das in der Parameterform so üblich ist. Wir können sehr schnell einen Normalenvektor finden, den wir dann einfach nur noch in die Normalenform quasi einsetzen müssen und dann steht sie schon eigentlich da. Den kann man mit dem Kreuzprodukt bilden, diesen Normalenvektor, indem man einfach die beiden Richtungsvektoren mit dem Kreuzprodukt multipliziert. Da das aber oftmals nicht gewünscht ist und das Kreuzprodukt nicht verwendet werden soll, zeige ich hier eine Methode wie man ohne das Kreuzprodukt auskommt. Wir brauchen also einen Normalenvektor, das heißt einen Vektor, der senkrecht zur Ebene ist - zu der Ebene, die wir hier schon haben - und das bedeutet auch, dass wir einen Vektor suchen, der zu den beiden Richtungsvektoren senkrecht ist oder wie man auch sagt, orthogonal ist. Denn wenn ein Vektor zu den beiden Richtungsvektoren senkrecht ist, dann ist er auch zur gesamten Ebene senkrecht, dann ist es ein Normalenvektor. Wir wissen auch, dass ein Skalarprodukt zweier Vektoren nur dann 0 ist, wenn sie rechtwinklig zueinander sind und das führt uns dann zu der folgenden Gleichung. Wir suchen also einen Normalenvektor, der multipliziert mit einem der Richtungsvektoren 0 ist. Also das Produkt ist dann 0, der Vektor selber ist natürlich nicht 0. Das können wir auch mit dem anderen Richtungsvektor machen, wenn wir den mit dem noch zu findenden Normalenvektor multiplizieren, dann soll da auch 0 herauskommen bzw. wir suchen einen Vektor, für den das gilt. Diese beiden Skalarprodukte führen wir auf diese Gleichungen. Da habe ich einfach das was das Skalarprodukt ist hingeschrieben. Das sind zwei Gleichungen mit 3 Variablen, das ist in der Regel nicht eindeutig lösbar. Das brauchen wir auch nicht, denn wir wissen ja, dass es zu jeder Ebene unendlich viele Normalenformen gibt und wir brauchen nur eine davon. Deshalb können wir einfach für eine der Variablen - für n1, n2 oder n3 - eine Zahl einsetzen und dann das restliche Gleichungssystem lösen. Dann erhalten wir eine der möglichen Normalenformen, dabei muss man aber noch beachten, dass wenn wir uns jetzt um n1 kümmern und für n1 eine Zahl einsetzen wollen, müssen wir eben noch beachten, dass entweder n1 gleich 0 sein muss oder dass n1 irgendeine andere beliebige Zahl sein kann. Wenn wir also für n1 jetzt 1 einsetzen, könnte es sein, dass das zu einem Widerspruch führt. Wenn das der Fall wäre, wissen wir, dass wir für n1 0 einsetzen müssen und dann können wir ab da weiterrechnen, denn dann entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, was dann in der Regel eindeutig lösbar ist. Jetzt soll hier für n1 1 eingesetzt werden, ich hätte natürlich auch 17,5 einsetzen können, aber dann wäre das alles komplizierter geworden. Dieses Gleichungssystem entsteht, wenn man für n1 1 einsetzt. Jetzt können wir beide Gleichungen nach n2 auflösen und dann das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Da sind die beiden Gleichungen nach n2 aufgelöst. Die beiden rechten Seiten können wir jetzt untereinander gleichsetzen - da sind sie beide gleichgesetzt. Jetzt ist eine Gleichung mit nur einer Variabel entstanden und die können wir dann einfach lösen und es kommt heraus, dass n3 gleich 0 ist. Jetzt können wir für n3 in die anderen Gleichungen 0 einsetzen, das führt dann zu der Gleichung n2=-1. Das bekommt man dann direkt ohne viel Rechnung. Für n1 haben wir ja sowieso schon 1 eingesetzt, also haben wir einen Normalenvektor mit den Koordinaten 1, -1 und 0. Das ist er. Diesen Normalenvektor müssen wir jetzt einfach nur noch in die Normalenform einsetzen. So sieht die Normalenform aus. Dabei ist p ein Ortsvektor, der zu irgendeinem Punkt der Ebene führt und n ist ein Normalenvektor also ein Vektor, der senkrecht zur Ebene ist. Einen geeigneten Normalenvektor haben wir schon gefunden und einen Ortsvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt haben wir auch schon nämlich den Stützvektor der Parameterform. Hier ist der Stützvektor der Parameterform. Hier ist der Normalenvektor, den wir gefunden haben und alle Punkte, die durch Ortsvektoren x definiert werden, deren Differenz zu einem Vektor multipliziert mit einem anderen Vektor 0 ergibt, liegen alle in einer Ebene. Das ist noch mal die Verbalisierung der Normalform. Die Normalform ist bis dahin fertig, wir können aber noch überprüfen, ob wir richtig gerechnet haben. Zum Beispiel können wir einen Punkt von dem wir wissen, dass er in der Ebene ist, für das x in der Normalform einsetzen und dann an diesem Punkt unsere Normalenform überprüfen. Wir erhalten einen Punkt der Ebene, indem wir zum Beispiel für r 0 einsetzen und für s 1 einsetzen in die Parameterform. Dann erhalten wir den Vektor [4,6,3], der ist jetzt hier einfach für das x in die Normalenform eingesetzt worden und das führt dann einfach durch Ausrechnen dieser Sache, die da jetzt steht, auf diese Gleichung und die ist richtig. Damit haben wir nicht bewiesen, dass wir richtig gerechnet haben, denn es könnte immer noch sein, dass es für einen Punkt falsch ist, aber hier soll mal die Überprüfung damit abgeschlossen sein. Wir können davon überzeugt sein, dass wir das richtig gerechnet haben und damit ist die Aufgabe erledigt. Viel Spaß damit, tschüss.

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