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Transkript Von der Parameterform in die Normalenform – Aufgabe 1

Hallo. Wir haben eine Aufgabe gegeben, nämlich: Bestimme eine Normalenform der gegebenen Ebene. Das ist die gegebene Ebene und man kann man eine Normalform leicht hinschreiben, wenn man einen Normalenvektor hat, und den kann man leicht hinschreiben, wenn man das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bildet. Es kommt aber auch vor, dass Schüler das Kreuzprodukt nicht verwenden dürfen, und wie man das dann macht, das wird hier gezeigt. Wir suchen einen Normalenvektor zur Ebene. Das ist ein Vektor, der senkrecht zur Ebene ist und das bedeutet, dass der Vektor senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Parameterform ist, und das wiederum bedeutet, dass das Skalarprodukt des Normalenvektors, den wir suchen, mit beiden Richtungsvektoren der Parameterform gleich 0 sein muss. Das ist der eine Richtungsvektor der Parameterform, das ist der noch zu suchende Normalenvektor und das Skalarprodukt der beiden muss 0 sein. Das gilt auch für den anderen Richtungsvektor. Richtungsvektor mal noch zu suchender Normalenvektor muss gleich 0 sein. Dadurch erhalten wir ein Gleichungssystem mit 3 Variablen und 2 Gleichungen und das ist in der Regel nicht eindeutig lösbar. Das muss es auch nicht sein, denn es gibt zu ein und derselben Ebene immer auch unendlich viele Normalenformen. Wir brauchen aber nur eine Normalenform, und deshalb können wir eine der Variablen einfach setzen, das heißt, wir setzen einfach eine Zahl ein, zum Beispiel für n1. Dann müssen sich die anderen Variablen einfach danach richten. Wie wir wissen, muss n1, zum Beispiel, entweder gleich 0 sein oder man kann für n1 jede beliebige Zahl einsetzen und dann das entstandene Gleichungssystem lösen. Damit die Sache einfach bleibt, setzen wir eine buchstäblich einfache Zahl ein, nämlich die 1. Wenn das nicht geht, also das dann entstandene Gleichungssystem nicht lösbar ist, dann wissen wir, dass wir 0 einsetzen müssen. So sieht das Gleichungssystem aus, wenn für n1 einfach 1 einsetzt und freundlicherweise können wir hier n2 einfach schon ablesen. Wir müssen nur auf beiden Seiten -1 rechnen und dann durch 2 teilen und dann kommt -½ und n3 können wir auch ablesen. Wir rechnen -1 auf beiden Seiten und teilen dann durch 3. Das sind die beiden Ergebnisse zunächst mal: -½ und -1/3. Und damit haben wir dann einen Normalenvektor. Der sieht so aus: (1, -½, -1/3) sind die Koordinaten des Normalenvektors. Und nun müssen wir das Ganze noch in die Normalenform einsetzen. Da erinnern wir uns erst mal an die Normalenform. Die sieht so aus. Dabei ist p^-> ein Ortsvektor, der zu irgendeinem Punkt in der Ebene führt und n^-> ist ein Normalenvektor, also ein Vektor, der senkrecht zur Ebene ist. Einen geeigneten Normalenvektor haben wir schon gefunden und einen Ortsvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt, haben wir auch schon, nämlich den Stützvektor der Ebene, der ein Teil der Parameterform ist. Also brauchen wir nur noch einzusetzen. Da haben wir es eingesetzt. Das ist der Stützvektor aus der Parameterform. Den Normalenvektor haben wir gerade ausgerechnet. Jetzt können wir noch testen, ob wir richtig gerechnet haben. Dazu können wir einfach einen Vektor, von dem wir wissen, dass er zu einem Punkt der Ebene führt, für x einsetzen in die Normalenform, und wenn dann die Gleichung richtig ist, ist das ein Hinweis darauf, dass wir richtig gerechnet haben. Das ist dann noch kein Beweis, dass das richtig ist. Das zeigt nur, dass wir das vermutlich richtig gemacht haben. Ich habe hier einen Vektor genommen, der entsteht, wenn man in die Parameterform für r 1 und für s 0 einsetzt. Da war r, da war s. Das kann man ausrechnen, dann kommt ein Vektor heraus, nämlich der Vektor (5, 11, 1). Den kann man in die Normalenform einsetzen. Das habe ich hier gemacht. Wenn da 0 rauskommt, dann ist das mit diesem Vektor schon mal richtig und da kommt tatsächlich 0 raus. Ich weiß, dass der Normalenvektor, den wir bestimmt haben, tatsächlich ein Normalenvektor ist, ein Normalenvektor der Ebene, deren Parameterdarstellung wir am Anfang der Aufgabe hatten und damit ist jetzt ist die Aufgabe also richtig gelöst. Viel Spaß damit. Tschüss.

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