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Transkript Von der Parameterform in die Koordinatenform mit Kreuzprodukt

Hallo! Es geht darum, eine Ebene in Parameterform in eine Koordinatenform umzuformen, und zwar mithilfe des Kreuzproduktes. Falls du das Kreuzprodukt nicht gehabt hast oder nicht verwenden darfst, schau dir bitte die Filme an, in denen ich das ohne Kreuzprodukt erklärt habe. Hier soll es mit Kreuzprodukt passieren, und zwar deshalb, weil das relativ einfach ist. Man braucht dann den Normalenvektor nicht bestimmen, indem man Gleichungen umformt, sondern man kann ihn einfach ausrechnen. Wenn man nämlich das Vektorprodukt, oder Kreuzprodukt, zweier Vektoren bildet, Vektorprodukt und Kreuzprodukt ist ja dasselbe, dann entsteht ein Vektor, der senkrecht zu diesen beiden Vektoren ist, die man multipliziert hat und wenn wir also einen Normalenvektor hier zu dieser Ebene in Parameterform suchen, dann brauchen wir einen Vektor, der zu den beiden Richtungsvektoren senkrecht ist. Dann ist er auch zu der gesamten Ebene senkrecht oder auch orthogonal.  Ja, da zeige ich einfach mal, wie das geht. Du kannst quasi die Definition verwenden oder du kannst das auch mit der Merkregel machen. Das habe ich hier schon mal vorbereitet. Das gehe ich jetzt nicht noch mal alles im Einzelnen durch. Du schreibst die beiden Richtungsvektoren hin, und dann schreibst du sie noch mal hin und dann bildest du die Kreuze hier und daraus erhältst du dann einen Normalenvektor. Also man rechnet: 1×4-(-2)×-2, das ist der 1. Eintrag. -2×2-3×4 ist der 2. Eintrag und da genauso. Wenn es darum geht, einen Normalenvektor zu finden, dann ist es manchmal ganz praktisch einen Normalvektor zu finden, der kleine Zahlen hat. Das habe ich hier erreicht, indem ich die Koordinaten dieses Vektors durch -8 geteilt habe. Das darf man, weil man nur die Richtung des Normalvektors braucht und nicht die Länge. Jetzt ist hier ein Vektor entstanden, der hier zum vorherigen Vektor entgegengesetzt ist, in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Aber das macht auch nichts, denn beide definieren dieselbe Ebene.  So nachdem der Normalenvektor gefunden ist, brauchen wir in der Koordinatenform noch das d. Ja das ist ja hier allgemein die Koordinatenform einer Ebene und oft werden hier andere Zahlen verwendet: a, b, z, d oder so. Ich habe jetzt hier einfach mal n1 bis n3 verwendet, weil ja die Koeffizienten hier vor diesen x1, x2, x3, oder x, y, z kann man ja auch sagen, diese Koeffizienten bilden ja einen Normalenvektor. Andersrum gesagt, wenn man einen Normalenvektor hat, dann kann man die Koordinaten des Normalenvektors einfach hier einsetzen. Und ja, damit hat man diese Koeffizienten schon mal gefunden. Aber wir brauchen noch das d. Das d setzt sich ja zusammen, indem man Normalenvektor × Punkt der Ebene rechnet. Hier das Skalarprodukt. Das, was hier steht, ist ja nichts anderes als das Skalarprodukt aus dem Vektor (n1,n2,n3)^-> und dem Vektor (x1,x,2,x3)^-> und die Koordinatenform lebt ja davon, dass immer, wenn man für (x1,x2,x3) was einsetzt und eine bestimmte Zahl herauskommt bei diesem Skalarprodukt, dann liegen alle Punkte, die die Koordinaten (x1,x2,x3) haben, auf einer Ebene. Ja, das ist ja dieser Sinn der Koordinatenform. Das heißt, das d setzt sich zusammen aus Normalenvektor × Punkt der Ebene. Irgendein Punkt der Ebene reicht. Nun haben wir in der Parameterform schon ein Punkt der Ebene, nämlich in Form des Stützvektors, das heißt, wir müssen nur noch rechnen: Normalenvektor, den wir schon gefunden haben, Skalarprodukt, Stützvektor, mal so gesagt. Da kommt 1 raus. Zeige ich jetzt nicht noch mal, du weißt, wie das Skalarprodukt funktioniert. Sonst kannst du da noch mal in den Filmen nachgucken, wo das erklärt wird. So, da wir jetzt auch das d haben und den Normalenvektor haben, brauchen wir die Koordinatenform nur noch aufzuschreiben. Auch da habe ich noch eine klitzekleine Kleinigkeit eingebaut, denn der Normalenvektor war ja (0,2,1)^-> und 0 schreibt man normalerweise nicht, man lässt diesen ganzen Summanden weg und 1×x3 schreibt man auch nicht, sondern man schreibt einfach 2x2+x3=1. Das ist dann die Standardnotierung der Koordinatenform oder einer Koordinatenform, es gibt ja viele, einer Koordinatenform dieser Ebene hier, die hier in Parameterform dargestellt ist. Ja, das war es dazu. Viel Spaß damit, tschüss!

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1 Kommentar
  1. Default

    Sehr gute und leicht verständliche Erklärung! Danke. :)

    Von Studiosus Chemicus, vor etwa 3 Jahren
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