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Transkript Von der Normalenform in die Parameterform – Aufgabe (3)

Hallo! Wir haben eine Ebene in Normalenform und die soll dargestellt werden in Parameterform. Da sind 3 kleine Sachen anzumerken. Zum einen, man kann diese Klammer hier und diesen normalen Vektor vertauschen, die Ebene bleibt dadurch dieselbe. Sag ich nur, weil du vielleicht die andere Schreibweise gewohnt bist; das macht nichts, beide Schreibweisen sind üblich. Hier haben wir viele Nullen stehen, das ist also der Koordinatenursprung. Ja, na gut, wenn die Ebene durch den Koordinatenursprung geht, dann kann hier auch 000 stehen. Das ist keine weitere Ausnahme, da brauchen wir uns nicht weiter drum zu kümmern. Dritter Punkt ist, hier der Normalvektor enthält Brüche und viele Minuszeichen und, wie sonst im Leben: Wenn man sich die Sache einfach machen kann, dann macht man es auch. Macht man in der Mathematik ebenso. Wir wissen ja, es ist beim normalen Vektor die Richtung wichtig und nicht die Länge und deshalb können wir einen Vektor, also einen normalen Vektor, mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren und die Ebene bleibt dieselbe. Ich könnte den jetzt verlängern, dann würde ja die Richtung der Ebene die gleiche bleiben. Ich kann aber auch den Vektor in die andere Richtung laufen lassen, in die entgegengesetzte Richtung; auch dann bleibt die Ebene gleich. Das heißt man kann auch mit Zahlen multiplizieren, die kleiner als 0 sind. Das werde ich jetzt machen. Wenn man hier nämlich mit -6 multipliziert, dann verschwinden die Brüche und die Minuszeichen, dann kann man einfacher rechnen hinterher. Also, wir haben hier -4/6×(-6)=4 und -0,5×6=3 und -1/3×(-6), hab ich gerade -6 gesagt, ich wollte -6 gesagt haben, wir multiplizieren mit -6 und hier steht dann eine 2. So bitteschön. Jetzt suchen wir einen Richtungsvektor der Parameterform. Ein Richtungsvektor muss rechtwinklig zu diesem normalen Vektor sein, da er in der Ebene verlaufen soll und das kann man sich so vorstellen: Wir haben den normalen Vektor 4, 3, 2 und suchen einen Richtungsvektor a1, a2, a3. Das Skalarprodukt dieser beiden soll gleich 0 sein, denn wir wissen, dass der Vektor a1, a2, a3 genau dann rechtwinklig zum Vektor 4, 3, 2 ist, wenn deren Skalarprodukt gleich 0 ist. Ausgeschrieben sieht dieses Skalarprodukt so aus: 4a1+3a2+2a3=0. Wir können uns 2 der Variablen aussuchen, das heißt wir können Zahlen einsetzen dafür und können dann die dritte Variable ausrechnen und ich habe mich dafür entschieden für a1 -½ einzusetzen und für a2, was habe ich mir da überlegt, 2 einzusetzen. Ich hätte natürlich auch andere Zahlen nehmen können, ganz klar. Auf die Ausnahmen gehe ich jetzt nicht weiter ein; das ist manchmal, wenn da Nullen sind, muss man aufpassen, wo man was einsetzt. Hier ist es nicht der Fall und deshalb können wir hier für 2 der Variablen irgendwelche Zahlen einsetzen. So, ich glaube, das brauche ich nicht alles im Einzelnen aufzuschreiben. Wenn man hier für a1 -½ einsetzt und für a2 2 einsetzt, dann folgt daraus, dass a3=-2 sein muss und damit haben wir unseren ersten Richtungsvektor gefunden - r1 nenn ich den jetzt hier - und der ist gleich -½ und 2 und -2, so klammern wir es oben. Das ist unser erster Richtungsvektor. Dann geht es weiter mit dem zweiten Richtungsvektor. Es muss gelten, dass dieser zweite Richtungsvektor skalar multipliziert mit dem normalen Vektor gleich 0 ist - also das Produkt aus Richtungsvektor und normalen Vektor muss 0 sein, das Skalarprodukt. Ausgeschrieben bedeutet das 4b1+3b2+2b3=0. Und jetzt können wir wieder 2 der Variablen wählen, das heißt wir können einfach Zahlen einsetzen dafür, aber wir müssen jetzt dabei beachten, dass dieser zweite Richtungsvektor linear unabhängig vom ersten Richtungsvektor sein soll. Das heißt der zweite Richtungsvektor soll nicht Vielfaches des ersten sein - oder noch genauer gesagt: Es soll keine Zahl geben, sodass gilt, wenn wir Zahl mal zweiter Richtungsvektor rechnen, dann kommt der erste Richtungsvektor heraus; diese Zahl soll es also nicht geben. Das erreichen wir dadurch, indem wir zum Beispiel für b2 das einsetzen, was wir für a2 eingesetzt haben; und zwar war das die 2. Und wir können für b1 etwas anderes einsetzen als das, was wir für a1 eingesetzt haben. Nämlich, was habe ich mir überlebt, b1=1. Das ist nicht das, was wir für a1 eingesetzt haben. Und dann können die also nicht Vielfache voneinander sein. Daraus folgt, dann sind wir eigentlich schon fertig - ich glaub, das muss ich jetzt auch nicht alles hinschreiben: Wenn man für b1 1 einsetzt und für b2 2 einsetzt, dann kommt b3, dann ist b3=(-5) und damit haben wir einen zweiten Richtungsvektor. Da brauch ich den Platz. Wir haben einen zweiten Richtungsvektor, nämlich r2, der ist gleich 1, 2 und -5. Und damit können wir die Parameterform der Ebene hinschreiben. Hier ist das E mit dem Doppelstrich, weil es sich um eine Punktemenge handelt; eine Ebene ist ja eine Punktemenge. Die besteht aus allen Vektoren mit dem Stützvektor 0, 0, 0. Also alle Vektoren, die die Form haben, die jetzt hier hinschreibe. Lamda, also irgendeine Zahl, irgendein Parameter, λ×(-½), 2 und -2+µ×1, 2 und -5. Damit haben wir eine Parameterform. Es gibt ja immer viele verschiedene Parameterformen, die dann alle dieselbe Ebene darstellen. Aufgabe ist gelöst soweit. Man kann jetzt natürlich noch testen, ob das stimmt. Man setzt für Lamda und My Zahlen ein, erhält hier einen Vektor und diesen Vektor setzt man dann für x in die Normalenform ein und schaut nach, ob die Gleichung richtig ist. Umgekehrt kann man einen Vektor in die Normalenform einsetzen; ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt. Dann ist die Normalenform, die ja eine Gleichung ist, also diese Gleichung ist dann richtig. Man kann dann für x diesen Vektor einsetzen und sehen, ob es Lamda und My gibt, sodass diese Gleichung dann richtig wird. Das nennt sich dann jeweils Punktprobe. Kann man machen, mach ich jetzt hier nicht, weil ich jetzt mal davon ausgehe, dass das richtig ist. Viel Spaß damit! Tschüss.

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