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Transkript Von der Normalenform in die Parameterform – Aufgabe (2)

Hallo! Es geht um die Bestimmung einer Ebene in Parameterform und gegeben ist eine Ebene in Normalenform. Hier ist die Ebene in Normalenform. Da fällt zunächst mal auf, dass hier der Stützvektor und der Normalenvektor gleich sind. Das ist kein Problem, dass darf durchaus der Fall sein. Kleine Anmerkung noch hier ist der Normalenvektor, der steht auch öfter vor dieser Klammer hier, das heißt, man kann diese Klammer und den Normalenvektor auch in der Reihenfolge vertauschen. Der Vektor (1|-4|-4) führt zu einem Punkt der Ebene und kann deshalb als Stützvektor in der Parameterform verwendet werden. Wir brauchen nun noch zwei Richtungsvektoren, und das sind zwei Vektoren, die in der Ebene liegen, die sind dann also senkrecht zum normalen Vektor und solche Vektoren können wir bestimmen, indem wir das Skalarprodukt verwenden. Beide Vektoren müssen senkrecht zum Normalenvektor sein und beide Vektoren müssen voneinander linear unabhängig sein, das bedeutet, sie dürfen keine vielfachen voneinander sein. Wir suchen einen Vektor (a1|a2|a3), der zum Normalenvektor senkrecht ist, das bedeutet, das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist null. Das kann man auch ausschreiben, das sieht dann so aus, das ist eine Gleichung mit 3 Variablen, und in der Regel darf man dann für 2 der Variablen einfach irgendwelche Zahlen einsetzen und die dritte Variable dann mit Hilfe dieser Gleichung bestimmen. In der Regel bedeutet, wenn dann im Normalenvektor nicht irgendwo Nullen auftauchen. Um den Fall kümmere ich mich später, da sag ich jetzt nichts zu. Man kann für a1 und a2 jeweils 1 einsetzen, dann entsteht hier eine Gleichung mit einer Variablen und es kommt heraus, dass a3=-3/4. Damit haben wir einen Richtungsvektor gefunden, der ist (1|1|-3/4). Der zweite Richtungsvektor soll nun linear unabhängig zum ersten Richtungsvektor sein, das bedeutet: Der neue Richtungsvektor, oder der zweite Richtungsvektor, der hier einfach mal (b1|b2|b3) genannt wird, soll vom ersten Vektor linear unabhängig sein, dass bedeutet, er ist nicht Vielfaches dieses Vektors, und das bedeutet, dass es keine Zahl gibt, sodass das Produkt aus Zahl und Vektor gleich erster Richtungsvektor ist. Außerdem muss der neue Richtungsvektor zum normalen Vektor senkrecht sein, dass bedeutet, das Skalarprodukt aus zweitem Richtungsvektor und normalem Vektor ist 0. Wir können erreichen, dass der zweite Richtungsvektor nicht Vielfaches des Ersten ist, indem wir für b1 wieder 1 einsetzen, für b2 diesmal aber eine andere Zahl als die Zahl die wir für a1 eingesetzt haben. Zum Beispiel können wir für b1=1 einsetzen und fü b2=-1. Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen, die können wir eindeutig lösen und dann ist b3=5/4. Das sit nun der zweite Richtungsvektor, nämlich (1|-1|5/4). Nun müssen wir den Stützvektor und die beiden gefundenen Richtungsvektoren nur noch einsetzen, den Stützvektor hatten wir bereits, der kommt ja in der Normalenform auch vor. Das sind die beiden Vektoren, die wir herausgefunden haben, und man kann das Ergebnis noch testen, indem man einmal für lambda und mu Zahlen einsetzt, der Vektor der sich dann ergibt, den kann man in die Normalenform einsetzen, wenn die Gleichung dann richtig ist, dann ist der Vektor, den man hier ausgerechnet hat, ein Vektor der Ebene. Man kann auch umgekehrt vorgehen, man kann einen Vektor in die Normalenform einsetzen, für x, wenn die Gleichung dann richtig ist, muss es ein lambda und ein mu geben, sodass man hier für x auch diesen Vektor einsetzen kann und die Gleichung dann richtig wird. Das teste ich jetzt nicht hier im Einzelnen. Und damit ist hier der Fall erledigt. Viel Spaß damit, tschüss!

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