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Transkript Von der Normalenform in die Parameterform – Aufgabe (1)

Hallo, es geht um die Bestimmung einer Parameterform einer Ebene, die bereits in Normalenform gegeben ist. Schauen wir uns die Ebene in Normalenform an, da ist sie, hier ist der Normalenvektor und da ist der Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt. Und diese Klammer hier und dieser Normalenvektor, die kann man vertauschen. Manchmal steht der Normalenvektor auch am Anfang, beide Schreibweisen sind üblich. Da der Vektor 3\5\1 zu einem Punkt der Ebene führt, kann man ihn als Stützvektor in der Parameterform verwenden. Dann brauchen wir noch die beiden Richtungsvektoren. Und die beiden Richtungsvektoren müssen beide senkrecht zum normalen Vektor 1-1\2 sein und sie müssen linear unabhängig voneinander sein. Da es sich hier also um 2 Vektoren handelt, bedeutet lineare Unabhängigkeit, dass die beiden nicht vielfache voneinander sein sollen. Ist das Skalarprodukt eines Vektors a1\a2\a3 mit dem normalen Vektor 1-1\2 gleich 0, so sind die beiden Vektoren senkrecht zueinander. Das Skalarprodukt ausgeschrieben sieht so aus und wenn wir nun a1, a2, a3 so finden können, dass bei dieser Gleichung 0 heraus kommt, dann haben wir einen Vektor gefunden, der als Richtungsvektor dienen kann, denn der ist dann senkrecht zum normalen Vektor. Es handelt sich um eine Gleichung mit 3 Variablen und in der Regel kann man sich dann einfach 2 Variablen aussuchen, dass heißt, man kann einfach für 2 der Variablen Zahlen einsetzen. Da gibt es Ausnahmen, zum Beispiel dann, wenn im normalen Vektor eine 0 oder 2 Nullen vorkommen, aber darauf gehe ich jetzt bei dieser Aufgabe nicht weiter ein. Wir können uns hier 2 der Variablen aussuchen und wir können, zum Beispiel für a1 und a2 jeweils 1 einsetzen. Dann entsteht hier diese Gleichung und die kann man nach a3 auflösen, das Ergebnis ist dann a3= -2. Damit haben wir den 1. Richtungsvektor der Parameter vollständig. Hier ist der 1. Richtungsvektor 1\1-2. Nun brauchen wir noch den 2. Richtungsvektor und da haben wir schon gesagt, der 2. Richtungsvektor, hier mit b1\b2\b3 bezeichnet, soll nicht vielfacher des 1. sein. Das bedeutet, es gibt keine Zahl, sodas das Produkt aus Zahl und neuer Richtungsvektor gleich alter Richtungsvektor ist. Außerdem muss der Vektor b1\b2\b3 senkrecht zum normalen Vektor sein. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt, des noch zu findenden Richtungsvektors, mit dem normalen Vektor 1-1\2 gleich 0 sein soll. Das der 2. Richtungsvektor nicht vielfaches des 1. ist erreichen wir dadurch, in dem wir zum Beispiel für b1 die gleiche Zahl einsetzen, die wir für a1 eingesetzt haben. Für b2 aber eine andere Zahl einsetzen, als die, die wir für a2 eingesetzt haben. Zum Beispiel können wir für b1 1 und für b2 -1 einsetzen. Dann entsteht eine Gleichung mit einer Variablen und die können wir zu b3 hin auflösen und b3= -1. Damit haben wir den 2. Richtungsvektor gefunden. Es ist 1-1-1. Und jetzt müssen wir noch beiden Richtungsvektoren in die Parameterform einsetzen. Und den Stützvektor natürlich auch. Das ist ja ein Punkt, bzw. ein Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt, so ist es richtig. Und damit ist die Parameterform fertig. Wenn man das testen will, ob man richtig gerechnet hat, kann man einfach für ? und ? etwas einsetzen, Zahlen einsetzen und dann einen Vektor bestimmen dadurch und prüfen, ob der Vektor, wenn man ihn für x in die Normalenform einsetzt, dann auch zur Ebene gehört. Das heißt, man kann dann prüfen, ob die Gleichung auch richtig ist. Mache ich hier jetzt nicht, weil ich weiß, dass das richtig ist. Weil ich es schon getestet habe. Und damit ist die Aufgabe gelöst. Viel Spaß damit, tschüss.

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1 Kommentar
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    Von Ilhami, vor mehr als 3 Jahren
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