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Transkript Von der Koordinatenform in die Normalenform

Hallo! Wenn wir eine Ebene in Koordinatenform gegeben haben, und möchten die in Normalenform umformen, dann ist es praktisch, wenn man sich vorher Gedanken darüber gemacht hat, wie eine Normalenform aussieht. Ich schreibe das kurz auf. Wir haben den Normalenvektor Skalar multipliziert mit der Differenz von x und einem Punkt der Ebene bzw. einem Vektor, der zu einem Punkt der Ebene führt, hier p. Immer wenn man hier für x etwas einsetzt und die Gleichung richtig ist für bestimmte Vektoren n und p, dann gehören alle diese Punkte oder Ortsvektoren, die man hier eingesetzt hat, zu einer Ebene. Das ist der Sinn der Normalenform. Wir können das jetzt ausmultiplizieren, also n×x und das sieht dann in Zeile geschrieben so aus: n1×x1+n2×x2+n3×x3 Und dann kann ich hier noch n×-p rechnen, es gilt das Distributivgesetz, auch bei der Skalarmultiplikation. Da kommen dann -np raus und dann kann ich auf beiden Seiten +np rechnen und dann n×p, muss ich vielleicht so schreiben +n×p und dann habe ich das nämlich auf der anderen Seite stehen. Auch das kann ich jetzt zeilenweise hinschreiben. Da steht dann: n1×p1+n2×p2+n3×p3 Und jetzt zeige ich die Koordinatenform, um die es geht. Ich habe einfach irgendeine genommen. Es ist völlig egal hier. 2×x1-3×x2+5×x3=7 So und ich hoffe dir fällt jetzt auf, dass der Normalenvektor schon bekannt ist, wenn wir die Koordinatenform haben. Wir brauchen noch p1, p2, p3, denn n1, n2, n3 ist ja bereits bekannt. Wir müssen p1, p2, p3 so finden, dass diese Summe, also das Skalarprodukt, aber so wie es hier steht, ist es ja eine Summe, 7 ergibt. Und um das zu erreichen, können wir irgendeinen Vektor einsetzen, der zu einem Punkt der Ebene führt. Solange p1, p2, p3 ein Punkt der Ebene ist, ist diese Summe hier 7. Es ist auch kein Wunder. So ist ja die Koordinatenform gemeint. Immer wenn man hier 3 entsprechende Koordinaten eines Punktes einsetzt, sodass multipliziert mit dem Vektor 2 minus 3 5 7 herauskommt, dann ist es ein Punkt einer bestimmten Ebene. Da das Ganze so ist, kann man sich jetzt einfach überlegen, was könnte ich denn für p1, p2, p3 einsetzen, damit da 7 herauskommt. Wir haben ja hier 2 mal irgendwas minus 3 mal irgendwas plus 5 mal etwas. Das soll 7 ergeben. Also ich nehme einmal 1, 0 und 1. Das ergibt 7. Also hier ist der Vektor dann, der Vektor p ist dann (1 über 0 über 1). Das ist der gesuchte Punkt, den wir hier einsetzen müssen. Und den Normalenvektor den haben wir ja bereits. Dann können wir es auch direkt hinschreiben, wenn ich schon einmal dabei bin. Dann kommt hier das x hin, hier kommt der Normalenvektor hin (2 über -3 über 5) und dann steht es auch noch ordentlich da. Das war es. Es gibt keine weiteren Ausnahmen, auch wenn hier Nullen stehen usw., dann wird es hier, das ist ja das Einzige, was wir zu tun haben, diesen Vektor p zu finden, dann wird es da einfacher. Und das war es für alle Fälle, wenn man von der Koordinatenform in die Normalenform möchte. Viel Spaß damit. Tschüss.

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