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Transkript Vom Graphen einer Funktion auf die Ableitung schließen

Hallo, wenn du Ableitungen verstehen möchtest und überhaupt so die Grundlagen der Analysis verstehen möchtest, was ja dann im Wesentlichen Ableitungen sind, dann wäre es also sehr hilfreich wenn du aus einem gegebenen Funktionsgraphen, wie dem hier zum Beispiel, wenn du daraus die Ableitung direkt sehen könntest. Das heißt natürlich nicht auf die Nachkommastelle genau, sondern so ungefähr eine Ableitungsfunktion darin erkennen kannst und das geht ganz einfach mit solchen Steigungsdreiecken, die ich hier mal vorbereitet habe. Wenn du so eine Sammlung von Steigungsdreiecken hast, dann kannst du hier diese Steigungsdreiecke an so eine Funktion anlegen und diese Funktion durch mehrere Steigungsdreiecke annähern und hier habe ich schon mal ein paar vorbereitet. Das ist ein Steigungsdreieck, ich zeige es noch mal etwas näher, ja, muss ich hierhin halten, sonst sieht man es nicht. Das ist also ein Steigungsdreieck und ich lege das jetzt mal hier hin, weil diese Funktion ungefähr eine Steigung hat, die -1 ist, da kannst du es sehen. Das ist das Steigungsdreieck -1, also es geht nach unten, wir haben ein Gefälle. Dann kann ich diese Funktion hier annähern, den Funktionsverlauf annähern durch das Steigungsdreieck -0,5, das sieht ungefähr so aus, dann hat die Funktion hier sehr wenig Steigung und deshalb bekommt sie das Steigungsdreieck, das nämlich überhaupt gar keines ist. So da kann man es sehen hoffe ich. Das ist kein Steigungsdreieck, weil hier die Steigung ganz einfach =0 ist, aber so etwas kommt ja auch vor und deshalb braucht man so ein Nulldreieck auch. Ein Nulldreieck, welches keines ist, naja, wie auch immer. Jetzt haben wir wieder eine positive Steigung, hier in dem Bereich von 3 bis 4, also für die x-Werte 3 bis 4 ... und ich habe den Funktionsgraphen hier verwischt, da kommt er wieder hin ... und danach haben wir eine Steigung ungefähr von 1,5, das möchte ich mal so hier annähern und damit ist also der Funktionsgraph durch Steigungsdreiecke angenähert worden. Wir können den Funktionsverlauf hier also ganz gut erkennen. Ja, was ist jetzt die Ableitung? Die Werte der Ableitung sind jetzt also diese roten Striche hier, das sind die Höhen der Dreiecke, das sind die Werte der Ableitung, denn so groß ist jeweils die Steigung. Also hier kann man eher von einer Tiefe der Ableitung sprechen, weil ja dieser rote Strich nach unten geht und ich kann jetzt dieses Steigungsdreieck einfach mal hier dransetzen und das ist dann der Ableitungswert. Das mache ich mit den anderen Dreiecken auch. Dieser rote Strich hier ist also auf dem Intervall von 1 bis 2 so ungefähr die Ableitung. Diese Größe, das ist der Ableitungswert auf dem Intervall bei den x-Werten von 2 bis 3 die Steigung ist 0, das lege ich auch mal hier so mittig drauf, oder so ungefähr 0 ist die Steigung zumindest, es geht ja wirklich nur um das optische Verständnis hier. Auf dem Intervall ist also ungefähr die Steigung 1 und da ist sie ungefähr 1,5. So, und wenn ich diese Steigungsdreiecke jetzt da liegen habe, das zeige ich noch mal in der Nahaufnahme, dann kann ich eigentlich hier schon die Ableitungswerte selber eintragen. Das ist also hier, da muss ich das bisschen umständlich hochheben: ein Punkt, noch einer, da ist 0, das weiß ich, hier haben wir +1 und da ungefähr +1,5. Jetzt nehme ich die Steigungsdreiecke wieder weg ... so, dann mache ich auch die Achse gleich mit kaputt hier, macht nichts ... und so habe ich jetzt eine Ableitung gefunden, die sieht ungefähr so aus: Da muss sie durch 0 gehen, habe ich gesagt und da verläuft sie ungefähr so, das ist die Ableitungsfunktion, ich mache sie mal noch etwas dicker, so ungefähr sieht das aus und jetzt kannst du also hier die Ausgangsfunktion und die Ableitungsfunktion gleichzeitig sehen. Worauf ich hier auf jeden Fall noch gerne hinweisen möchte, ist: Die Ausgangsfunktion fällt in diesem Bereich und die Ableitungsfunktion steigt in diesem Bereich. Es ist nicht so, dass wenn die Ausgangsfunktion fällt, die Ableitungsfunktion auch fallen soll, das ist nicht so. Viele Menschen meinen, wenn das Gefälle erst stark ist und dann wenig wird, dann muss die Ableitung auch erst groß sein und dann kleiner werden oder so was, die muss also mitfallen dann, das ist also nicht der Fall. Ableitungen bekommt man mit solchen Steigungsdreiecken und die produzieren diese Werte. Es ist dieses rein formale Verfahren, was solche Ableitungsgraphen produziert. Gut, bis dahin so gut, ich wünsche dir viel Spaß damit. Bis dann, Tschüss.

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4 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Narasalia:
    Man kann den Graph der Ableitungsfunktion ohne genaue Angaben nur skizzieren. Hilfreich sind dabei die folgenden Eigenschaften des ursprünglichen Funktionsgraphen: Steigungsverhalten (Monotonie), Extrem- und Wendepunkte.
    (1) Extremstellen: Wenn der Funktionsgraph an einer bestimmten Stelle (x-Wert) eine Extremstelle besitzt, so entspricht das der Nullstelle des Graphen der Ableitungsfunktion.
    Also markierst du dir zuerst die x-Werte, an denen Extremstellen existieren als Nullstellen.
    (2) Wendestellen: Wenn der Funktionsgraph an einer bestimmten Stelle (x-Wert) eine Wendestelle besitzt, so befindet sich an der gleichen Stelle (x-Wert) bei dem Grpah der Ableitungsfunktion eine Extremstelle.
    (3) Wenn du die Extremstellen ablesen kannst, so kannst du insbesondere sehen, ob es sich bei dem dazugehörigen Extrempunkt um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Desweiteren kannst du das Steigungs-(Monotonie-)verhalten des Funktionsgraphen ablesen. Wenn der Graph fällt, so sind die Funktionswerte der Ableitungsfunktion negativ (Der Graph verläuft unter der X-Achse). Wenn der Graph steigt, so sind die Funktionswerte der Ableitungsfunktion poatitiv (Der Graph verläuft oberhalb der X-Achse).
    (4) Mit den drei Angaben, kannst du den Graphen der Ableitungsfunktion dann skizzieren.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    Super erklärt, aber in der Arbeit darf ich natürlich keine Steigungsdreiecke benutzen. Wie geht es ohne?

    Von Narasalia, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Ja, simple Erklärung - Danke!

    Von Vivi10, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Tolle Erklärung und super einleuchtend durch die umgeklebten Steigungsdreiecke!

    Von Schlaumeier, vor etwa 6 Jahren