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Transkript Volumen von Zylindern

Das Volumen eines Zylinders - Definition

Hallo! Heute möchte ich mit dir zusammen die Volumenformel eines Zylinders erarbeiten und anwenden. Raketenwissenschaftler arbeiten an den ersten Entwürfen für ein Space-Shuttle. Damit das Space Shuttle die Anziehungskraft der Erde überwinden und damit in den Weltraum gelangen kann, ist eine enorme Schubkraft und damit viel Treibstoff notwendig.

Sie entwerfen dafür ein Treibstofftank, der aus drei Teilen zusammengesetzt ist: Zwei zylindrischen Tanks sollen einmal mit flüssigem Wasserstoff und einmal mit flüssigem Sauerstoff befüllt werden. Beide Teile werden durch ein elektrisches Bauteil voneinander getrennt.

Die Wissenschaftler wollen nun wissen, wieviel Liter flüssigen Sauerstoff und Wasserstoff sie in die Tanks füllen können. Wie können wir den Wissenschaftlern helfen? Wir erarbeiten uns zuerst die Formel für das Volumen eines Zylinders. Dann helfen wir den Wissenschaftlern bei der Berechnung des Volumens der Treibstofftanks. Zum Schluss fassen wir das Gelernte zusammen.

Jetzt wollen wir erstmal sehen, wie wir das Volumen bzw. den Rauminhalt eines Zylinders berechnen können. Als Hilfsmittel benutzen wir ein Kubikzentimeter große Einheitswürfel um den das Volumen eines Zylinders zu bestimmen. Einheitswürfel sind Würfel mit einer vorgegeben Längeneinheit wie zum Beispiel 1 Zentimeter als Kantenlänge. Da das Volumen dann eine Volumeneinheit, zum Beispiel Kubikzentimeter entspricht sagt, nennt man sie EINheitswürfel.

Wir müssen nur wissen, wie viele Einheitswürfel in den Zylinder passen. Damit wir abschätzen können, wie viele Einheitswürfel in den Zylinder passen, beginnen wir die Grundfläche des Zylinders mit den Einheitswürfeln zu bedecken. Jetzt legen wir eine zweite Schicht von Einheitswürfel auf die Erste. Das machen wir solange, bis der Zylinder ganz gefüllt ist. Wie groß ist jetzt das Volumen des Zylinders?

Wir müssen lediglich noch zählen, wie viele Schichten wir übereinandergelegt haben. Multiplizieren wir die Anzahl der Einheitswürfel auf in der Grundfläche mit der Anzahl der Schichten, so erhalten wir die Gesamtanzahl der Einheitswürfel im Zylinder und damit eben das Volumen. Das Verfahren ist aber nicht exakt genug, weil die Würfel das Volumen nicht ganz ausfüllen. Deswegen brauchen wir eine genaue Formel.

Die Idee mit den Einheitswürfel ist der genauen Volumenformel sehr ähnlich. Betrachten wir also einen Zylinder mit der Grundfläche Groß G und der Höhe h. Es gilt: Das Volumen des Zylinders ist gleich dem Grundflächeninhalt Groß G mal die Höhe h.

Bei einem Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis mit Radius r. Der Flächeninhalt Groß G ist also gleich Pi mal r Quadrat. Das setzen wir in die Volumenformel ein und erhalten V Zylinder ist gleich Pi Mal r Quadrat Mal h.

Kommen wir zurück zu den Treibstofftanks für das Space-Shuttle. Die Wissenschaftler haben folgende Maße für die beiden Tanks ermittelt. Im vorderen Teil befindet sich der zylindrische Tank mit dem flüssigen Sauerstoff. Er ist 10 Meter lang. Das Volumen des ersten Tanks nennen wir V1. Im mittleren Teil befindet sich die Elektronik.

Der hintere Teil enthält einen Zylinder mit dem flüssigen Wasserstoff. Er ist 30 Meter lang. Das Volumen des zweiten Zylinders nennen wir V2. Der Durchmesser beider Zylinder beträgt 8 Meter. Die Wissenschaftler wollen nun wissen, wie viel Liter Flüssigsauerstoff und Flüssigwasserstoff in die Tanks passen.

Wir starten mit der Berechnung von V1. Der Radius des Zylinders beträgt 8 Meter Durchmesser geteilt durch zwei, also 4 Meter. Die Höhe beträgt 10 Meter. Setzen wir die Werte in die Formel ein, erhalten wir für V 1 gerundet 503 Kubikmeter.

Nun war aber die Frage nach den Litern. Ein Kubikmeter entspricht eintausend Kubikdezimetern. Ein Kubikdezimeter entspricht einem Liter. Also entspricht V1 ungefähr 503 Tausend Litern.

Jetzt berechnen wir V2. Der Radius des Zylinders beträgt wie eben 4 Meter. Die Höhe beträgt 30 Meter. Setzen wir die Werte in die Formel ein, erhalten wir für V 2 gerundet 1508 Kubikmeter. Ein Kubikmeter entsprechen eintausend Litern, also passen in V2 ungefähr eine Millionen 508 tausend Litern.

Jetzt können wir die Frage der Wissenschaftler beantworten. In den ersten Tank passen circa 503 000 Liter Flüssigsauerstoff und in dem zweiten Tank circa eine Millionen 508 tausend Liter Flüssigwasserstoff.

Heute hast du gelernt, wie man das Volumen eines Zylinders mit Hilfe von Einheitswürfeln bestimmen kann. Das Volumen eines Zylinders berechnet man mit der Formel: V Zylinder ist gleich Pi mal r Quadrat Mal h. Wir haben den Wissenschaftlern geholfen das Volumen der beiden Tanks zu berechnen. Mit dem Wissen über Zylinder können wir jetzt durchstarten.

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