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Transkript Volumen von Rotationskörpern – Zusammenfassung

Hallo. In diesem Video gucken wir uns Rotationskörper an und die Formel, mit der man ihr Volumen berechnet und einige Beispiele. Was ist eigentlich ein Rotationskörper? Also, da nimmt man sich erst mal eine Funktion und schaut sich deren Graphen an und dann nimmt man sich den Graphen und lässt ihn um die x-Achse rotieren, so wie hier. Hin und zurück. Und wenn man das immer weiter machen würde, würde ein Körper entstehen. Der heißt dann Rotationskörper. Bei unserer Funktion hier wäre der Rotationskörper also so eine Art große Vase oder großer Krug mit einem dicken Bauch. Andere Rotationskörper sind z. B. Flaschen oder Tassen. Die Funktion, aus deren Rotation um die x-Achse die Tasse entstanden ist, sieht ungefähr so aus. Und das wäre dann schon der Rotationskörper. Und für das Volumen des Rotationskörpers, der bei Rotation einer Funktion f(x) um die x-Achse entsteht, gilt folgende Formel: π×Integral von a bis b. Was ist jetzt a und b? A und b sind die Stellen auf der x-Achse, die den Körper begrenzen. Und dann kommt f(x)2×dx. So, jetzt nehmen wir als Erstes mal ein Beispiel, an dem wir das Volumen auch anders ausrechnen können, damit wir das dann überprüfen können. Dann nehmen wir die Funktion f(x)=3 (konstant), und zwar zwischen den x-Werten 0 und 5. Da entsteht also ein Zylinder, der hat den Radius 3 und die Höhe 5. Für das Volumen eines Zylinders haben wir die Formel π×r2×h. Der Radius ist hier 3 und die Höhe ist 5, also ergibt das 45π. Und bei unserer anderen Formel haben wir π×Integral von 0 bis 5 (0 und 5 sind die x-Werte, die den Körper begrenzen), dann der Funktionsterm zum Quadrat, also 32×dx. Das ist also 9 und die Stammfunktion ist 9x. Und alles in den Grenzen von 0 bis 5. Jetzt setzen wir noch die 5 ein und die 0 und da kriegen wir tatsächlich 45π heraus. Scheint also zu stimmen. Als Zweites wollen wir eine Volumenformel beweisen, nämlich die von einer Pyramide mit einem Kreis als Grundfläche. Der Radius r bleibt also erst mal so allgemein. Jetzt müssen wir noch herausfinden, was das für eine Funktion ist, die da rotiert um die x-Achse. Das ist ja offensichtlich eine Gerade und die schneidet bei r die y-Achse. Also schreiben wir schon mal: y= irgendetwas×x+r. Und jetzt müssen wir noch die Steigung bestimmen. Da haben wir hier ein Steigungsdreieck, das hat die Breite h, das ist nämlich die Höhe der Pyramide und die Höhe r. So, und wenn es bei h Schritten nach rechts r Schritte nach unten geht, dann ist die Steigung -r/h. Das ist also unsere Funktion, die rotiert. Die Formel, die wir für so ein Volumen aus der Formelsammlung kennen oder kennen sollten, ist (π×r2×h)/3. Und jetzt schauen wir mal, ob mit unserer neuen Formel das Gleiche herauskommt. Ich schreibe die Formel noch mal hin: Volumen ist also π×Integral von a bis b (f(x))2×dx. Jetzt setze ich ein: π×Integral von 0 bis h, jetzt setze ich die Funktion ein, mache ein Quadrat dran und dann dx. Jetzt wende ich erst mal die binomische Formel an und dann ziehe ich mal das r2 aus dem ganzen Integral heraus, das stört mich ein bisschen. Dann kann ich endlich die Stammfunktion bilden: (x3/3×h2)-(2x2/2h)+x. So, dann setze ich h ein für x. Hier kürzen sich übrigens die Zweien heraus: -h2/h+h. Und wenn ich für 0 einsetzen würde, würde überall 0 herauskommen, deshalb lass ich das gleich weg. Jetzt kürzt sich hier etwas zu h/3, dann haben wir noch -h+h. Das fällt also weg, die Klammer machen wir auch gleich weg. Und was bleibt, ist dann π×r2×h/3, so wie wir es gewollt haben. So, hier noch einmal zum Merken die Formel: Wenn man also eine Funktion f(x) hat und die rotiert um die x-Achse zwischen den Stellen a und b, dann hat der dabei entstehende Rotationskörper das Volumen π×Integral von a bis b(f(x))2×dx. Ja und das war es dann erst mal. Bis bald!

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6 Kommentare
  1. Default

    Prima erklärt aber wenn dus ein bisschen langsamer machen wurdes wäre es noch perfekter. Bei dir sind alle videos eins bisschen zu schnell

    Von Susanne Honnef, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    mich würde die rotation um die y-achse auch interessieren! was gibt es da zu beachten?

    Von Bootylicious1, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    jetzt habe ich es verstanden!!!! Dankeschön :)

    Von Julia Wieland, vor fast 5 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Für die Berechnung der Stammfunktion benutze ich hier nur die Potenzregel. Zur Funktion f(x) = x hoch n ist die Stammfunktion 1/(n+1) * x hoch (n+1). Schau dir dazu mal dieses Video an: http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/stammfunktionen-ganzrationaler-funktionen

    Grüße, Steve

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  5. Default

    hallo! ist ein sehr gute video. ich hab aber noch ne frage: ich verstehen den schritt zur stammfunktion nicht...
    viele grüße :)

    Von Julia Wieland, vor fast 5 Jahren
  1. Default

    Hallo, sehr gutes Video. Aber wie ist das wenn sich der Körper jetzt um die Y-Achse drehen soll? nehme ich immer noch diese Formel nur mit anderen Grenzen?

    Grüße ;)

    Von Kallinski, vor fast 6 Jahren
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