Textversion des Videos

Transkript Volumen von Rotationskörpern – Herleitung der Formel

Hallo, in diesem Video geht es um Rotationskörper. Ich möchte die Frage erklären, woher eigentlich die Formel des Volumens kommt und dann rechnen wir noch ein paar Beispiele. Das ist also gewissermaßen die Fortführung meines Einsteigervideos zu Rotationskörper. Dann nehmen wir uns erst einmal einen Funktionsgraphen und lassen den um die x-Achse rotieren. Dann schreiben wir die Formel noch einmal auf: Volumen = π × ∫ab [f(x)]^2dx. Die Stellen a und b sind die Stellen auf der x-Achse, die den Körper begrenzen. Als erstes ziehen wir mal das π ins Integral rein. Und jetzt erinnern wir uns daran, wie wir eigentlich das Integral definiert hatten. Das war ein Grenzwert für ∆x gegen 0 von der Summe von i = 1 bis n, wobei n die Anzahl der Stücke war, in die wir das Intervall unterteilt haben. Und dann kommt das, was im Integral steht, aber immer an der Stelle xi, und hinten ∆x, das ist die Breite der Intervallstückchen. So, um den Grenzwert kümmern wir uns erst einmal nicht, wir gucken erst einmal was in der Summe so steht. Sagen wir mal das n ist zum Beispiel 7, dann unterteilen wir also unser Intervall ab in 7 gleich große Stücke. Und dann haben wir für i = 1 zum Beispiel π × [f(x1)]^2 × ∆x. Und f an der Stelle x1 ist ungefähr diese Höhe hier. Dann steht hier eigentlich genau die Formel für das Volumen des Zylinders, der den Radius f von x1 hat und die Höhe ∆x. Das ist r2, das ist h und das ist π. Das wäre also dieser Zylinder hier. Wenn wir jetzt die zweite Stelle einsetzen, dann kriegen wir das Volumen des Zylinders, der als Radius f von x2 hat und Höhe ∆x, also dieser hier. Wenn ich also jetzt die anderen Stellen einsetze, kriege ich immer das Volumen des jeweiligen Zylinders, und die Summe summiert dann die ganzen Volumina auf. Das wäre also wieder eine Annäherung durch Unter- beziehungsweise Obersummen des Volumen des Rotationskörpers, und wenn man dann eben den Grenzwert anguckt, kann man sich vorstellen, dass wirklich das richtige Volumen rauskommt. Gut und jetzt nehmen wir mal als Beispiel die Funktion f(x) = x2, zwischen den Stellen 1 und 2. Das ist der Funktionsgraph, und bei Rotation würde in etwa so ein Körper entstehen. Das wäre also so ein tiefer Teller oder eine Schüssel. Da haben wir jetzt unsere Formel und wir setzen ein: π × ∫1,2[x2]^2dx. Das natürlich x4 und die Stammfunktion ist 1/5x5. Also 25/5 - 15/5 und das ergibt dann schlussendlich 31/5 π. Geht doch eigentlich ganz schnell. Jetzt nehmen wir mal die Funktion -x2 + 4 und die Gerade -x + 2. Die sieht so aus. Die beiden schließen eine Fläche ein, und wir wollen das Volumen des Rotationskörpers wissen, der entsteht, wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert. Das kann man sich also wie eine Schale vorstellen mit einer kegelförmigen Einkerbung. Um das Volumen zu berechnen, berechnen wir erst das Volumen dieses großén Rotationskörpers, der zur Funktion f gehört, und ziehen dann das Volumen des kleinen Rotationskörpers, der zur Funktion g gehört, ab. Also V = V1 - V2, V1 entsteht bei Rotation von f und V2 entsteht bei Rotation von g. V1 ist also π × ∫(-x2 + 4)2dx in den Grenzen von -1 bis 2, denn -1 und 2 sind die Stellen, wo f und g sich schneiden. Das müsste man also vorher eigentlich noch ausrechnen. So, das Quadrat der Funktion ist x4 - 8x2 + 16, und das hat die Stammfunktion x5/5 - 8/3x3 + 16x. Dann setzen wir zuerst die 2 ein, machen eine -Klammer auf und setzen dann die -1 ein. Es ergibt sich dann 30,6 π. V1 haben wir also schon einmal, und jetzt zu V2: Dann nehmen wir die gleichen Grenzen und quadrieren die Funktion -x + 2. Das Quadrat ist x2 - 4x + 4, das hat die Stammfunktion x3/3 - 4 halbe x2, also 2x2 + 4x. Dann setzen wir die 2 ein, machen eine -Klammer auf, setzen die -1 ein, und das ergibt für V2 dann 9 π. Unser gesuchtes Volumen ist also 30,6 π - 9 π, also 21,6 π. Okay, jetzt seid ihr eigentlich so weit, dass ihr von allen Vasen und Tassen zuhause ausrechnen könnt, wieviel Wasser reinpasst. Das war´s.

Informationen zum Video
14 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Andre,

    also der Term Wurzel(1 + [f'(x)]²) kommt aus der allgemeinen Formel für die Mantelfläche bei einer um die x-Achse rotierenden Funktion. Wie man das Integral mit diesem Wurzelterm letzendlich löst, hängt stark von der rotierenden Funktion ab. Im Fall f(x) = x³/3 bietet es sich an, die Substitutionsregel zu verwenden, weil man die Struktur u'(x) * Wurzel(u(x)) hat, also in der Wurzel ist eine Funktion, deren Ableitung als Faktor vor der Wurzel steht. Das kann aber bei anderen Funktionen ganz anders aussehen, sodass dann eventuell andere Integrationsmethoden herhalten müssen. Im Allgemeinen ist das Lösen eines solchen Integrals nicht so einfach. Man braucht schon ein wenig Erfahrung.
    Zu deiner anderen Frage: Ich habe nur zwei Videos zu Rotationskörpern gemacht: "Was ist ein Rotationskörper?" und "Rotationskörper - Woher kommt die Formel? und Beispiele". Wenn ich das richtig überblicke, gibt es auf der Plattform leider kein Video zur Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers. Ich nehme an, dass du dieses Thema in einem Ingenieurstudiengang behandelst, nicht in der Schule...
    Momentan erstelle ich keine weiteren Tutorien. Meine Zeit lässt das nicht zu... Tut mir leid. Ein paar Videos zu Integrationstechniken gibt es aber auf sofatutor... Ich wünsche dir weiter viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Also erst mal danke für die schnelle Antwort, habe da aber noch eine Frage. Es handelt sich bei dieser Aufgabe aber nach der Frage der Mantelfläche. Hierfür hat unser Dozent erstmal die erste Ableitung f(x)' gemacht und diese dann zum quadriert zu f(x)'². So entsteht dann eine Wurzel und anschließend wird die Subtitutionsmethode angewendet. Muss ich so immer verfahren? Und könntest du dir vorstellen dazu (Mantelfläche eines Rotationskörpers) auch ein Tutorium zu machen? Gibt es hier so weit ich gesehen habe nämlich noch nicht, Beispiel könnte ja die Aufgabe vom vorigen Kommentar sein.

    P.s. Deine Tutorien sind echt sehr gut gemacht und verständlich, hat mir bisher sehr weiter geholfen.

    Von Andre H 87, vor mehr als einem Jahr
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Andre,

    ja darfst du. Pi ist in dem Fall auch ein Faktor. Faktoren sind ja alle möglichen Zahlen: 2, Pi, e, 3.25637, Pi²/4, was auch immer. Hauptsache sie hängen nicht von x ab.
    In deinem Beispiel darfst du also 2 Pi mit ins Integral ziehen.

    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Hallo Steve,
    ich habe mal eine Frage an der Stelle wo du pi ins Integral ziehst. 0:38. Was wäre wenn ich hier einen Faktor davor hätte, dürfte ich den dann auch einfach mit hineinziehen?
    Bezieht sich auf eine Aufgabe, wo ich die Mantelfläche eines Rotationskörpers angeben soll, der durch die Rotation des Funktionsgraphen f(x)= x³/3 um die X-Achse mit dem Intervall (0;3). Da habe ich ja, wenn ich das Integral aufstelle M=2*pi (integral)b-a f(x)* wurzel(1+x^4) dx. Darf ich hier die 2 mit hinein nehmen?

    Von Andre H 87, vor mehr als einem Jahr
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Esiemer,

    du hast recht. Da wurde das Pi vergessen. Ich gebe sofort der Redaktion Bescheid, damit das geändert wird. Danke für den Hinweis und weiter viel Erfolg beim Lernen!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    Ich habe eine Frage, wieso hat man jetzt bei der Übungsaufgabe das pi vernachlässigt? Wenn ich nämlich nur integriere, ohne mit pi zu multiplizieren, komme ich auf das Ergebnis 36,3. Mal pi fehlt doch noch oder nicht?

    Von Esiemer, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Hi Steve
    Du hattest Recht. War mein Fehler. Statt bei fx die binom. Formel anzuwenden habe ich alles hoch zwei genommen was dazu führte dass ich auf fx=- x^4 +16 gekommen bin. Folglich führte das zum falschen Ergebnis.
    LG Akarama

    Von Akarama, vor fast 3 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Entschuldigung *Akarama

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Akarana,

    ich habe es nochmal durchgerechnet undnkomme wieder auf 30,6 pi für das größere Volumen. Falls du bis 4:40 mit mir übereinstimmst, hast du dich vielleicht danach mit den vielen Minuszeichen vertan?!? Rechne es nochmal durch.

    Viele Grüße, Steve

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    hey, eine anmerkung
    als endergebnis kommt bei mir raus: 101,8 Volumeneinheiten.
    ich glaube dir ist bei der berechnung des volumens von f(x) ein fehler unterlaufen. Statt 30,6 pi habe ich 41,4 pi raus. 41,4 pi minus 9 pi ergibt dann bei mir wie oben erwähnt 101,8 VE bzw. 32,4 pi.

    Von Akarama, vor fast 3 Jahren
  6. Default

    Oh, sorry mein Fehler :)

    Von Maximartini, vor mehr als 3 Jahren
  7. Default

    Hallo Steve,

    Wie kommst du auf die Schnittstellen -1 und 2.
    Wenn ich die 2 Funktionen gegenüberstelle und nach x auflöse und mit der großen Lösungsformel, dann komme ich auf keine Lösung...

    Von Maximartini, vor mehr als 3 Jahren
  8. Bewerbungsfoto

    Hallo Janmoe,

    die rotierende Funktion muss quadriert werden. So sagt es auch die Formel. Du hast lediglich die Funktion 1/4 x + 3 integriert. Du musst aber (1/4 x + 3)² integrieren. (Am besten mit der Binomischen Formel auflösen und dann integrieren.)

    (Zudem ist dir ein Fehler unterlaufen. Die Stammfunktion zu 1/4 x + 3 ist nicht 1/4x²+3x, sondern 1/8 x²+3x.)

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  9. Default

    Der Graph der Funktion f(x) = ¼ x + 3 rotiere zwischen x = -2 und x = 2 um die x-Achse. Berechne sein Volumen.

    Tut mir leid, dass ich trotz ihres sehr guten Videos immernoch eine Frage zu dieser Testaufgabe nach dem Video habe, aber ich würde das wie folgt berechnen.

    pi* Integral von -2 bis 2 der Funktion 1/4x+3 dx
    dann
    pi* eckige KLammer von -2 bis 2 der Stammfunktion : 1/4x²+3x
    und wenn ich das nach dem Hauptsatz der Integralrechnung auflöse komme ich auf :
    12pi

    Von Janmoe, vor fast 4 Jahren
Mehr Kommentare