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Transkript Volumen von Kugeln – Ball mit Helium

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde des Fußballs - und vielleicht der Mathematik und ein bisschen der Physik und vielleicht ein wenig der Chemie. Herzlich willkommen zum Video "Fußball-Weltmeisterschaft". Heute der 10. Teil: "Ein Ball mit Helium".Nach dem Spiel Deutschland-Ghana gab es eine Diskussion zwischen 2 Spielern:"Also, hör' mal zu, Per. Das geht nicht so a...""Ich möchte auch mitmachen!""Wer bist du denn?""Der Ball.""Und ich auch!""Wer bist du?""Die Pumpe.""Aber ich bin auch noch da!""Wer bist du denn?""Tja, ich bin das Helium.""Zeig' dich!""Ich kann mich nicht zeigen.""Und wir gehören auch dazu!""Wer seid ihr denn? Ah, die chemischen Elemente Stickstoff und Sauerstoff.""Ja, wir bilden zusammen den Hauptanteil der Luft.""Na, dann erzählt doch mal, was in dem Video so vor sich geht."Also: Der größere der beiden Spieler, Per, wurde von dem kleineren belagert:"Du musst besser spielen!""Ja, das kann ich nicht. Der Ball ist zu schwer.""Das kann doch nicht sein.""Doch, der ist zu schwer! Vielleicht sollten wir ihn mit Helium füllen.""Na, so ein Unsinn.""Das wär' aber immerhin eine Idee.""Na, dann lassen wir es doch mal die Teilnehmer von Sofatutor durchrechnen."Um welche Masse wird ein Fußball leichter, wenn er, statt mit Luft, mit Helium aufgepumpt ist?Zuerst einmal eine Lösungsstrategie: Wir haben den Ball. Der Ball hat eine bestimmte Form und für diese Form müssen wir das Volumen bestimmen. Denn ohne Volumen kommen wir auch an keine Masse. Volumen=V. Als Nächstes müssen wir die Dichten bestimmen, und zwar einmal für Luft und einmal für Helium. Und als Nächstes benötigen wir daraus die Massen. Die sind dann nicht mehr schwer zu berechnen - aus dem Volumen des Balles und aus den entsprechenden Dichten. Und die Differenz am Ende, Δm, ergibt die gesuchte Größe. Also: Die Schritte unserer Arbeit teilen sich auf in 1, 2, 3 und 4.Schritt 1: Volumenberechnung - V.Beim Ball handelt es sich, in guter Nährung, um eine Kugel. Die Berechnung für das Volumen ermöglicht uns die Volumenformel für die Kugel: V=1/6π×d3. d=Durchmesser der Kugel. Den Durchmesser der Kugel hat man in der Regel nicht gegeben. Die internationalen Standards liefern uns den Umfang - u. Also u=π×d. Diese Formel kennen wir auch und formen sie um: d=u÷π. Somit haben wir die Formel für die Berechnung des Volumens - 1 - und die Berechnung für den Durchmesser d - 2.Wir setzen nun die Formel für den Durchmesser d in die Gleichung 1 ein und erhalten:V=1/6π×(u÷π)3Wir haben nun  im Zähler und 3 im Nenner und können kürzen. Wir erhalten somit:V=1/6×u3÷π2Der Umfang wird von der Fifa vorgegeben, er beträgt 68 bis 70 cm. Wir wählen den größeren der beiden Grenzwerte, also 70 cm.V=1/6×(70cm)3÷π2Wir erhalten mit dem Taschenrechner ein Volumen von 5792 cm³. Das sind etwa 5,8 ℓ.Als Zweites berechnen wir die Dichten: Nach dem Satz von Avogadro gilt, dass 1 mol eines Gases ein Volumen von 22,4 ℓ besitzt. Wir müssen also berechnen, wie groß die Dichten von Luft - bestehend aus Stickstoff, N2, und Sauerstoff, O2, bzw. Helium, He - sind. Wir berechnen zunächst die Dichten von Stickstoff und Sauerstoff sowie Helium.Die Dichten ergeben sich aus m÷v. Wir erhalten somit für Stickstoff: 28g÷22,4ℓ. Beim Sauerstoff sind das: 32g÷22,4ℓ. Und schließlich beim Helium: 4g÷22,4ℓ.Wir rechnen und erhalten ...... für Stickstoff: 1,25 g/ℓ.... für Sauerstoff: 1,43 g/ℓ.... und für Helium: 0,18 g/ℓ. Die Dichte der Luft errechnet sich aus den Anteilen, die Stickstoff und Sauerstoff bei der Luftbildung ausmachen. Bei Stickstoff nehmen wir etwa 80%, also 8/10, und bei Sauerstoff etwa 20%, also 2/10.Damit ergibt sich für die Dichte der Luft: 8/10×1,25.Und für die Dichte des Sauerstoffs: 2/10×1,43.Beide Ergebnisse müssen addiert werden und haben die Einheit g/ℓ.Wir rechnen und erhalten für die Dichte der Luft etwa 1,29 g/ℓ.3.: Berechnung der Massen.Die Masse der Luft ist das Produkt aus der Dichte der Luft und dem Volumen innerhalb des Balles. Wir können also schreiben:m(Luft)=1,29g/ℓ×5,8ℓm(Luft)=7,5gGenauso verfahren wir bei der Berechnung der Masse des Heliums:m(Helium)=ϱ(Helium)×VWir setzen ein:m(Helium)=0,18g/ℓ×5,8ℓWir erhalten somit:m(Helium)=1,0g. Nun gibt es aber noch ein Problem: Der Satz des Avogadro, dass ein Mol eines Gases ein Volumen von 22,4 ℓ besitzt, ist nur dann richtig, wenn Normbedingungen herrschen. Das heißt, ein Druck von 1 Bar und eine Temperatur von 0 Grad Celsius. Wir müssen nun berücksichtigen, welche Bedingungen in Südafrika herrschen. In Südafrika - genauer gesprochen: im Inneren des Balles - herrscht ein Druck von 2 Bar, nämlich ein Überdruck von 1 Bar, und eine Außentemperatur von vielleicht etwas über 0 Grad Celsius.Die Temperatur können wir bei unserer Betrachtung unberücksichtigt lassen. Wir müssen aber berücksichtigen, dass der Druck zweifach größer ist, als der, der nach dem Satz von Avogadro gilt. Das bedeutet aber, dass auch die betrachteten Massen verdoppelt werden. Wir schreiben daher für unsere errechneten Massen m' auf und notieren für die tatsächlichen Massen, also die verdoppelten Strichwerte, m(Luft) bzw. m(Helium).Somit errechnen wir für die Massen an Luft bzw. an Helium im Inneren des Balles 15 g bzw. 2 g.Als Letztes berechnen wir die Differenz der beiden Massen. Das kann man auch ohne Taschenrechner ausführen. Wir erhalten:Δm=13gUnd wir sind fertig.Fassen wir zusammen: Wir hatten 2 Sportler, die darüber nachgedacht haben, den Ball etwas leichter zu machen, indem man anstatt Luft, Helium hineinpumpt. Möglich ist das. Das heißt also, im Ball befindet sich keine Luft mehr, kein Stickstoff und auch kein Sauerstoff - dafür aber das Edelgas Helium. Der Ball wird durch diesen Trick 13 g leichter. Ob das nun viel nützt? Ich weiß es nicht. Ihr wisst ja, dass die Masse des Balles sowieso vorgeschrieben ist: Er darf nicht leichter als 410 g sein.In diesem Sinne also: Viel Erfolg noch und alles Gute. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. 001

    Falscher Film hochgeladen: Nächste Woche wird das sicher korrigiert werden.

    Von André Otto, vor fast 5 Jahren