Volumen von Kegeln 09:57 min

Textversion des Videos

Transkript Volumen von Kegeln

Guten Tag und herzlich willkommen.In diesem Video geht es um das Kegelvolumen, die Herleitung der Formel. Ihr wisst sehr gut, dass ihr einen Kegel von der Seite darstellen kann wie ein Dreieck. Wenn man ihn parallel zur Grundfläche durchschneidet, so ergibt sich nach jedem dieser Schnitte wieder ein Kreis. Aus dieser Tatsache resultiert die Idee für die Herleitung der Formel für das Kegelvolumen. Man stellt zunächst einmal eine Nährungsformel durch die Summe der Volumina vieler einzelner Zylinder dar. Diese einzelnen Zylinder sind praktisch Scheiben mit einer relativ geringen Höhe. Wenn man viele dieser einzelnen Zylinder aufsummiert, müsste man eine gute Nährung für die Formel des Volumens erhalten. Formal schreiben ich in vereinfachter Form: V ist etwa die Summe der Volumina der einzelnen Zylinder VZ.   Nehmen wir zunächst an, wir haben n Scheiben, also solchen kleinen Zylinder mit gleicher Höhe, dann ergibt sich für die Höhe jedes dieser Zylinder: hZ=h/n ,wobei h die Höhe des Kegels ist. Nehmen wir uns nun einen der beliebigen n-Zylinder raus. Sein Volumen beträgt dann:VZ=π (rZ)²×hZ . Das entspricht der Formel für das Volumen eines Zylinders. hZ ist  seine Höhe und die haben wir bereits dargestellt. Wir müssen nun noch versuchen rZ sinngerecht zu formulieren. Ich habe rZ in die Skizze zunächst sinngemäß in die Skizze eingetragen. Auf der anderen Seite kennen wir aber auch den Radius r unseres Kegels. Nach dem 2.Strahlensatz gilt nun:rZ/s=r/h , wobei s die in der Skizze dargestellte Strecke ist. Wir stellen um und erhalten:rZ=r×(s/h),  s=k×hZ, gerade k mal die Höhe eines Zylinders, k befindet sich in den Grenzen von 1 bin n und ist eine natürliche Zahl. Wir können dann schreiben:r×(k×hZ)/h=r×(k×h)/(h×n)Damit erhalten wir für rZ:rz=r×k/n . Wir nummerieren nun die Gleichungen und bezeichne sie als 1,2 und 3. Wir setzten nun die Werte für hZ und rZ aus den Gleichungen 1 und 2 in die Gleichung 3 ein. Somit ergibt sich für das Volumen einer Scheibe eines Zylinders VZ:VZ=π × r²×k²/n²×h/n.Daher ist es korrekter zu schreiben, VZ=π × r²×h×k²/n³ . Diese Gleichung bezeichne ich als Gleichung 4. Das Volumen des Kegels ergibt sich nun angenähert als summe der Volumina, der vielen einzelnen Zylinder, der vielen einzelnen Scheiben, also:V≈Σ ((k=1) bis n)VZk, und das ist gleich unter der Verwendung von Gleichung 4:  Σ ((k=1) bis n) π × r²×h×k²/n³ . Diese Summe sieht fürchterlich aus, ist es aber nicht. Denn wir sehen, dass π r²h - von mir eingekreist - so wie n³ im Nenner - eingekreist - wofür man 1/n³ im Nenner schreiben kann, von k nicht abhängen. Also kann man diese beiden Teiltermen als Faktoren vor das Summenzeichen schreiben. Wir erhalten somit: V≈π × r²×h×1/n³×Σ ((k=1) bis n)k² . Diese Gleichung bezeichnen wir als Gleichung 5. Für Σ ((k=1) bis n) k² kann man einen geschlossenen analytischen Ausdruck formulieren. Schaut in eurer Formelsammlung nach. Das ist nämlich genau:n(n+1)(2n+1)/6 . Diese Gleichung bezeichne ich als Gleichung 6. Jetzt setze ich den rechten Wert der Gleichung 6 in die Gleichung 5 ein. Ich schreibe:V≈π × r²×h×1/n³×n(n+1)(2n+1)/6 . Ich schreibe etwas um und formuliere:V≈π × r²×h×(n(n+1)(2n+1))/(6n³) . Die letzte Gleichung bezeichne ich als Gleichung 7. Die Gleichung 7 ist eine Näherungsformel, sie wird genau, wenn n gegen große Zahlten strebt, wenn n gegen unendlich geht. Also setzten wir ganz einfach den Grenzwert an und erhalten:V=lim(n->unendlich)π × r²×h×1/n³×n(n+1)(2n+1)/6n³. Ich möchte hier noch in der letzten Zeile bemerken, dass der Ausdruck π × r²×h von n nicht abhängig ist und daher im nächsten Schritt vor den Limes geschrieben werden kann. Somit schreiben wir:V=π × r²×hlim(n->unendlich)×1/n³×n(n+1)(2n+1)/6n³. Um den Grenzwert zu bestimmen dividieren wir nun den Zähler und Nenner des Bruchs durch n³. Im Nenner beleibt dann einfach 6 stehen. Im zähler dividieren wir das n durch eines dieser ns und erhalten 1. Den Ausdruck (n+1) dividieren wir durch das zweite n und erhalten (1+1/n). und den Ausdruck (2n+1) dividieren wir durch das dritte n und erhalten (2+1/n). Für (n gegen unendlich) sehen wir schön, wohin die einzelnen Ausdrücke streben. Der Nenner strebt gegen 6, das ist klar, der zweite Ausdruck des Zählers ist eine 1, der zweite Term ist (1+1/n) für (n gegen unendlich) strebt er gegen 1, der zweite Klammerausdruck (2+1/n) strebt bei (n gegen unendlich) gegen 2. Somit erhalten wir: V= π × r²×h× (1×1×2)/6. Wir kürzen die 2 und erhalten so 1/3. Somit ergibt sich als abschießende Formel: V=1/3 π r²h . Das ist die Formel für das Volumen eines Kegels, die wir hiermit nachgewiesen haben. Ich danke für das Ausdauervermögen und die Aufmerksamkeit. Alles Gute, auf Wiedersehen.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. 008

    ehm sorry wie teile ich das video einfach http link kopieren und einfügen

    Von Ferayi, vor mehr als 2 Jahren
  2. 001

    Hallo,

    einverstanden, sie wurde dort nicht so genannt.

    Gruß, André

    Von André Otto, vor fast 6 Jahren
  3. Dsc08559

    Hallo,
    das Video gefällt mir sehr gut, alle Schritte sind meiner Meinung nach sehr verständlich erklärt.
    Ein kleiner Punkt fiel mir auf: eine "unendliche Reihe" kommt in dem ganzen Video nicht vor.

    Gruß, ruhrschwabe

    Von Ruhrschwabe, vor fast 6 Jahren