Volumen einer Pyramide (vektoriell)

Hallo. Wir haben einen Würfel gegeben, den hier. Eine Ecke des Würfels ist der Koordinatenursprung, das ist die Seite a, der hat die Kantenlänge 4, dieser Würfel und die Koordinaten des Punktes E sind gegeben, (0|0|4), nur mal so zur Anschauung also, damit man weiß, es ist ein Würfel der Kantenlänge 4. G hätte z.B. die Koordinaten (4|4|4), das ist dann aber auch schnell zu sehen. Die Koordinaten von M1 und M2 sind auch gegeben und zusätzlich noch ein weiterer Punkt P, der Punkt P hat die Koordinaten (0|0|2), da überlegt man erst mal, wo ist denn der Punkt eigentlich? (0|0|2) bedeutet keine Ausdehnung in x-Richtung, keine in y-Richtung, aber 2 in z-Richtung, der ist also hier auf diesem scheinbaren Kreuzungspunkt, da ist (0|0|2). Und dieses rote Dreieck, also das Dreieck M1,M2,E, bildet mit diesem Punkt hier eine Pyramide. Zu berechnen ist das Volumen dieser Pyramide. Was machst Du da als erstes? Du überlegst zunächst mal, "Wo ist denn das Ding, wie sieht denn das aus?" Hier habe ich noch mal so ein Modell, da kann man das vielleicht noch mal sehen, das ist der Würfel, hier ist das beschriebene Dreieck, das hier sind die Seitenmitten M1 und M2, deren Koordinaten wir kennen. Und der Punkt (0|0|2) ist hier ungefähr, und dieses Dreieck hier und diese Spitze hier, die bilden eine Pyramide. Und rein zufällig habe ich da was vorbereitet, nämlich diese Pyramide. Die ist jetzt ein bisschen größer, als in diesem Modell hier, das macht aber nichts, dann kann man es noch besser sehen, also so liegt diese Pyramide da drin, das ist der Punkt (0|0|2), das sind die Seitenmitten M1 und M2, kann ich auch noch mal so drehen, ich richte die alle mal so aus wie in der Zeichnung, so ungefähr. M1, M2, E, P. Ich pack das noch mal so rum, dann kann man den Unterschied zum Tetraeder sehen, das ist ja hier viel flacher. Normalerweise, wenn Du das Volumen einer Pyramide ausrechnen möchtest, vektoriell, dann könntest Du einmal die Formel verwenden, die es da gibt, die ist aber auch nicht so lustig, also da musst Du so einige Beträge bilden, Längen von Vektoren bestimmen, von Differenzvektoren, quadrieren, die Wurzel ziehen und so weiter, also das ist nicht so richtig lustig.
Du kannst auch ganz allgemein vorgehen, wenn Du diese Formel gerade nicht parat hast. Dann weißt Du, das Volumen einer Pyramide berechnet sich dadurch, dass man die Grundfläche bildet und dann mal Höhe rechnet und dann durch 3 teilt, also 1/3×Grundfläche×Höhe, das ist das Volumen einer Pyramide. Wenn Du die Eckpunkte hier in dieser Grundfläche kennst, dann kannst Du z.B. hier durch die Differenz der Punkte den Differenzvektor bilden, den Betrag des Differenzvektors ausrechnen, dann kriegst Du die Länge der Strecke, dann bildest Du den Lotfußpunkt dieses Punktes auf diese Strecke hier. Der Lotfußpunkt ist der Höhenfußpunkt dieser Ecke auf diese Seite, der Grundseite. Da ist auch was zu tun, der Lotfußpunkt auszurechnen. Dann hast Du hier einen Punkt und kannst die Differenz bilden. Den Betrag des Differenzvektors errechnen, dann hast Du also die Länge des Differenzvektors. Dann rechnest Du: Dieser Betrag × dieser Betrag ÷ 2 ist der Flächeninhalt der Grundfläche. Und dann brauchst Du noch die Höhe, das heißt, das ist der Lotfußpunkt dieses Punktes auf die Ebene, die durch die Grundfläche geht. Wenn Du dann diesen Punkt hast, musst Du erst die Differenz bilden, den Betrag des Differenzvektors, das ist die Länge, und dann also 1/3 × Flächeninhalt der Grundfläche × Höhe, das ist dann das Volumen der Pyramide. So, kommt drauf an, an welcher Stelle das gefragt ist, aber ich würde mal sagen, das geht bestimmt noch einfacher.
Und zwar kann man sich Folgendes überlegen. Wir wissen ja, dass das hier Abschnitte der Koordinatenachsen sind, diese 3 hier. Das bedeutet, die haben alle rechte Winkel miteinander. Wenn die also rechte Winkel haben, dann, z.B. in diesem Dreieck hier, könnte das hier die Grundseite sein und das hier die Höhe. Wenn 2 Seiten einen rechten Winkel haben, kann eine Seite immer die Grundseite sein und die andere ist die Höhe. Also dann könnte ich den Flächeninhalt dieser Seite schon mal ausrechnen. Und wenn ich nicht sage, das hier ist die Grundfläche, sondern ich sage, das hier z.B. ist die Grundfläche, also die Grundfläche mit diesem rechten Winkel drin, dann ist das hier die Höhe. Aber die kenne ich ja auch schon. Das ist ja die Differenz hier, wenn da E ist und da P ist, dann ist die Differenz 2. Und wenn ich das weiß, dann bin ich ruck zuck fertig, und das möchte ich jetzt mal zeigen. Und zwar haben wir das Volumen der Pyramide, also Vp ist 1/3 der Grundfläche × Höhe, also 1/3 × Grundfläche, Grundfläche habe ich mal gesagt soll dieses rechtwinkelige Dreieck sein. Dann muss ich rechnen diese Seite × diese höhe ÷ 2, diese Seite ist 2 Einheiten lang, diese ist auch 2 Einheiten lang. 2×2÷2=2. So einfach kann das gehen, wenn man weiß, was man machen muss. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist 2. Wie groß ist die Höhe? 2. Also habe ich 1/3×2×2, das sind 4/3. 1,333... kann man auch sagen, aber 4/3, das ist die angenehmere Form glaube ich, und damit ist das Volumen dieser Pyramide bestimmt. Die Sache ist erledigt und Du siehst also, das, was ich lang und breit erklärt habe, wie man die Fläche berechnen kann, das habe ich quasi in Gedanken vorweggenommen. Wenn Du vor so einer Aufgabe sitzt, dann kann es sich durchaus lohnen, dass Du in Gedanken so einen Lösungsweg durchgehst. Es könnte sein, dass Du auf etwas kommst, das sich auf diese Rechnung reduziert, auf eine so kurze Rechnung. Und da kannst Du natürlich gleich sicher sein, dass das richtig ist, weil Du die Rechnung völlig überblicken kannst. Ja, wenn man Glück hat mit den Aufgaben, ist man ziemlich schnell fertig und natürlich, wenn man genügend nachdenkt. Viel Spaß damit, tschüss.