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Unsere Inhalte werden permanent auf hochwertige Didaktik und inhaltliche Richtigkeit geprüft. So geht ein Video durch 20 Hände bevor wir es freigeben! Der geschulte Blick von Professoren, Lehrern oder Doktoranden garantiert dir, dass du den Inhalten auf sofatutor.com jederzeit vollständig vertrauen kannst.
Du wirst bemerken, dass unsere Lernvideos nur ca. 10 Minuten lang sind. Durch die Kürze & Prägnanz wird deine Aufmerksamkeitsspanne optimal genutzt. So lernst du zügig genau das, was du brauchst und verbesserst deine Noten effektiv.
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Ideale Prüfungsvorbereitung: Vertiefe dein Verständnis mit Tests nach jedem Video.
Es ist wissenschaftlich erwiesen: Sehen, hören und vor allem selber lösen ist die ideale Kombination, um Wissen zu vertiefen und dauerhaft zu behalten. Dazu dienen die Tests nach unseren Videos.
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Wir haben unsere Nutzer befragt und sind stolz auf das Ergebnis: 87% bemerkten nachhaltig positive Effekte wie bessere Noten und tieferes Fachverständnis. Über 90% konnten sich eigenständig komplett neuen Stoff mit sofatutor aneignen.
Wir nutzen aktuelle didaktische Methoden, um die Tests zu erstellen. Mit sofatutor hast du jederzeit Zugriff auf über 13900 Tests!
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Um deine Fragen zu klären, kannst du dich täglich an uns wenden. Einer unserer Lehrer hört dir zu und hilft dir persönlich bei deinen fachlichen Problemen, beim Lernen oder den Hausaufgaben in den Fächern Mathematik, Deutsch, Englisch, Französisch, Biologie, Physik und Chemie.
Dieses Angebot gilt für Kunden des 6- und 12-Monats- sowie des Einzel-Nachhilfe-Abos. Der Fach-Chat ist täglich von Montag bis Freitag zwischen 17 und 19 Uhr erreichbar. Wo gibt es das schon? Du kannst jeden Tag der Woche einem kompetenten Nachhilfelehrer spontan deine Fragen stellen und qualifizierte Antworten erhalten.
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Die sofatutor-Nachhilfestunden bieten alle Vorteile traditioneller Nachhilfe – und noch einiges mehr: Einzelunterricht, qualifizierte Lehrer, aber keine Anfahrtswege. Denn bei uns findet Nachhilfe online statt. So arbeitest du bequem vom PC aus mit deinem persönlichen Lehrer an deinen Leistungen.
Durch die Integration der sofatutor-Lernvideos und -Tests in das Unterrichtskonzept stehen dir auch außerhalb der Nachhilfestunden jederzeit hochwertige Lerninhalte zum Weiterlernen und Üben zur Verfügung – ausgewählt von deinem Lehrer.Jürgen Möller ist Leiter der Einzel-Nachhilfe bei sofatutor.com. Durch seine jahrelange Erfahrung als Gymnasiallehrer und Lern-Coach an über 300 Schulen in Deutschland, steht er für ein vielfach erprobtes und stetig weiterentwickeltes Nachhilfekonzept.
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Hier siehst du eine Aufgabe, in der das Volumen einer Pyramide mithilfe der Vektorrechnung bestimmen sollst. Es wird insbesondere gezeigt, wie man dabei geschickt vorgehen kann, um sich Rechenzeit einzusparen.
Hier siehst du eine Aufgabe, in der das Volumen einer Pyramide mithilfe der Vektorrechnung bestimmen sollst. Es wird insbesondere gezeigt, wie man dabei geschickt vorgehen kann, um sich Rechenzeit einzusparen.
Nachweis Pyramide ist kein Tetraeder
Schnittwinkel zweier Ebenen durch Argumentieren
Hallo. Wir haben einen Würfel gegeben, den hier. Eine Ecke des Würfels ist der Koordinatenursprung, das ist die Seite a, der hat die Kantenlänge 4, dieser Würfel und die Koordinaten des Punktes E sind gegeben, (0|0|4), nur mal so zur Anschauung also, damit man weiß, es ist ein Würfel der Kantenlänge 4. G hätte z.B. die Koordinaten (4|4|4), das ist dann aber auch schnell zu sehen. Die Koordinaten von M1 und M2 sind auch gegeben und zusätzlich noch ein weiterer Punkt P, der Punkt P hat die Koordinaten (0|0|2), da überlegt man erst mal, wo ist denn der Punkt eigentlich? (0|0|2) bedeutet keine Ausdehnung in x-Richtung, keine in y-Richtung, aber 2 in z-Richtung, der ist also hier auf diesem scheinbaren Kreuzungspunkt, da ist (0|0|2). Und dieses rote Dreieck, also das Dreieck M1,M2,E, bildet mit diesem Punkt hier eine Pyramide. Zu berechnen ist das Volumen dieser Pyramide. Was machst Du da als erstes? Du überlegst zunächst mal, "Wo ist denn das Ding, wie sieht denn das aus?" Hier habe ich noch mal so ein Modell, da kann man das vielleicht noch mal sehen, das ist der Würfel, hier ist das beschriebene Dreieck, das hier sind die Seitenmitten M1 und M2, deren Koordinaten wir kennen. Und der Punkt (0|0|2) ist hier ungefähr, und dieses Dreieck hier und diese Spitze hier, die bilden eine Pyramide. Und rein zufällig habe ich da was vorbereitet, nämlich diese Pyramide. Die ist jetzt ein bisschen größer, als in diesem Modell hier, das macht aber nichts, dann kann man es noch besser sehen, also so liegt diese Pyramide da drin, das ist der Punkt (0|0|2), das sind die Seitenmitten M1 und M2, kann ich auch noch mal so drehen, ich richte die alle mal so aus wie in der Zeichnung, so ungefähr. M1, M2, E, P. Ich pack das noch mal so rum, dann kann man den Unterschied zum Tetraeder sehen, das ist ja hier viel flacher. Normalerweise, wenn Du das Volumen einer Pyramide ausrechnen möchtest, vektoriell, dann könntest Du einmal die Formel verwenden, die es da gibt, die ist aber auch nicht so lustig, also da musst Du so einige Beträge bilden, Längen von Vektoren bestimmen, von Differenzvektoren, quadrieren, die Wurzel ziehen und so weiter, also das ist nicht so richtig lustig.
Du kannst auch ganz allgemein vorgehen, wenn Du diese Formel gerade nicht parat hast. Dann weißt Du, das Volumen einer Pyramide berechnet sich dadurch, dass man die Grundfläche bildet und dann mal Höhe rechnet und dann durch 3 teilt, also 1/3×Grundfläche×Höhe, das ist das Volumen einer Pyramide. Wenn Du die Eckpunkte hier in dieser Grundfläche kennst, dann kannst Du z.B. hier durch die Differenz der Punkte den Differenzvektor bilden, den Betrag des Differenzvektors ausrechnen, dann kriegst Du die Länge der Strecke, dann bildest Du den Lotfußpunkt dieses Punktes auf diese Strecke hier. Der Lotfußpunkt ist der Höhenfußpunkt dieser Ecke auf diese Seite, der Grundseite. Da ist auch was zu tun, der Lotfußpunkt auszurechnen. Dann hast Du hier einen Punkt und kannst die Differenz bilden. Den Betrag des Differenzvektors errechnen, dann hast Du also die Länge des Differenzvektors. Dann rechnest Du: Dieser Betrag × dieser Betrag ÷ 2 ist der Flächeninhalt der Grundfläche. Und dann brauchst Du noch die Höhe, das heißt, das ist der Lotfußpunkt dieses Punktes auf die Ebene, die durch die Grundfläche geht. Wenn Du dann diesen Punkt hast, musst Du erst die Differenz bilden, den Betrag des Differenzvektors, das ist die Länge, und dann also 1/3 × Flächeninhalt der Grundfläche × Höhe, das ist dann das Volumen der Pyramide. So, kommt drauf an, an welcher Stelle das gefragt ist, aber ich würde mal sagen, das geht bestimmt noch einfacher.
Und zwar kann man sich Folgendes überlegen. Wir wissen ja, dass das hier Abschnitte der Koordinatenachsen sind, diese 3 hier. Das bedeutet, die haben alle rechte Winkel miteinander. Wenn die also rechte Winkel haben, dann, z.B. in diesem Dreieck hier, könnte das hier die Grundseite sein und das hier die Höhe. Wenn 2 Seiten einen rechten Winkel haben, kann eine Seite immer die Grundseite sein und die andere ist die Höhe. Also dann könnte ich den Flächeninhalt dieser Seite schon mal ausrechnen. Und wenn ich nicht sage, das hier ist die Grundfläche, sondern ich sage, das hier z.B. ist die Grundfläche, also die Grundfläche mit diesem rechten Winkel drin, dann ist das hier die Höhe. Aber die kenne ich ja auch schon. Das ist ja die Differenz hier, wenn da E ist und da P ist, dann ist die Differenz 2. Und wenn ich das weiß, dann bin ich ruck zuck fertig, und das möchte ich jetzt mal zeigen. Und zwar haben wir das Volumen der Pyramide, also Vp ist 1/3 der Grundfläche × Höhe, also 1/3 × Grundfläche, Grundfläche habe ich mal gesagt soll dieses rechtwinkelige Dreieck sein. Dann muss ich rechnen diese Seite × diese höhe ÷ 2, diese Seite ist 2 Einheiten lang, diese ist auch 2 Einheiten lang. 2×2÷2=2. So einfach kann das gehen, wenn man weiß, was man machen muss. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist 2. Wie groß ist die Höhe? 2. Also habe ich 1/3×2×2, das sind 4/3. 1,333... kann man auch sagen, aber 4/3, das ist die angenehmere Form glaube ich, und damit ist das Volumen dieser Pyramide bestimmt. Die Sache ist erledigt und Du siehst also, das, was ich lang und breit erklärt habe, wie man die Fläche berechnen kann, das habe ich quasi in Gedanken vorweggenommen. Wenn Du vor so einer Aufgabe sitzt, dann kann es sich durchaus lohnen, dass Du in Gedanken so einen Lösungsweg durchgehst. Es könnte sein, dass Du auf etwas kommst, das sich auf diese Rechnung reduziert, auf eine so kurze Rechnung. Und da kannst Du natürlich gleich sicher sein, dass das richtig ist, weil Du die Rechnung völlig überblicken kannst. Ja, wenn man Glück hat mit den Aufgaben, ist man ziemlich schnell fertig und natürlich, wenn man genügend nachdenkt. Viel Spaß damit, tschüss.
Nachweis Pyramide ist kein Tetraeder
Punkte zu einem Quader ergänzen
Konstruktion einer Geraden mit vorgegebenen Eigenschaften – Teil 2
Schnittwinkel zweier Ebenen mit Formel
Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks bestimmen – Standardlösung
Seitenmitte einer Quaderseite ermitteln
Konstruktion einer Geraden mit vorgegebenen Eigenschaften – Teil 1
Geradenschar – Gerade mit gegebenen Eigenschaften auszeichnen – Teil 1
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Ein geduldiger, immer verfügbarer Nachhilfelehrer.“ RTL
In kleinen Wissenseinheiten das Wichtigste per Videofilm erklärt.“ SZ
Günstiger als klassische Nachhilfe.“ heute.de
Nachhilfe im YouTube-Zeitalter.“ FAZ
„Manchmal muss es einfach nur “KLICK” machen und dann ist's total logisch! Bei euren Mathe-Videos machts bei mir immer “Klick Klick Klick”!”
„So viele Videos zu allen Kernfächern! Da bleiben echt keine Fragen offen!”
„Ich bin froh, dass ich mir mit sofatutor effektive Nachhilfe leisten kann!”