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Transkript Vollständige Induktion – Einführung

Hallo. Das Prinzip der Vollständigen Induktion ist ein Beweisverfahren in der Mathematik, das ich jetzt erklären möchte. Da ist vielleicht interessant vorauszuschicken, was ist überhaupt eine Induktion? Das ist ein Schluss von Beispielen auf die Allgemeinheit oder vom Besonderen auf die Allgemeinheit. Der umgekehrte Weg, wenn man vom Allgemeinen auf das Besondere schließt, heißt übrigens Deduktion. In der Mathematik kann man auch von Beispielen auf die Allgemeinheit schließen, aber diese Induktion muss vollständig sein. Das bedeutet, ich muss erst bei allen Elementen einer Menge gucken, ob die eine bestimmte Eigenschaft haben. Dann kann ich sagen, allgemein: Alle Elemente dieser Menge haben eine bestimmte Eigenschaft. Das möchte ich einmal zeigen an dieser Dominobahn. Ich behaupte: Wenn ich hier den Stein anstoße, dann fallen alle weiteren Steine um. Wie weit das geht, ist egal. Du siehst es auch gar nicht, wie weit das geht. Aber ich glaube, wir sind uns einig, dass alle Steine umfallen würden, wenn man den Ersten antippt. Woher weiß man das so genau? Woher wissen wir das? Wir machen im Kopf quasi auch so eine Vollständige Induktion. Dazu stellen wir uns Folgendes vor: Wenn ein Stein fällt, dann fällt der Stein daneben auch um. Da sind wir uns sicher. Wenn nichts Unvorhergesehenes dazwischen kommt, dann ist das auch so. Das heißt, wir könnten diese Steine nummerieren und könnten sagen: Wenn der Stein mit der Nummer 13 fällt, dann fällt der mit der Nummer 14 auch, wenn der mit der Nummer 26 fällt, dann fällt der mit der Nummer 27 auch. Das drückt man in einem Induktionsschritt aus. So nennt man das. Das ist der Schritt von n auf n+1. Dabei soll n irgendeine Zahl sein, zum Beispiel der Stein S mit der Nummer n. Wenn der umfällt, also irgendeiner dieser Steine ist das, dann fällt der Stein mit der Nummer n+1 auch um. Da sind wir uns sicher und das ist der Induktionsschritt. Das heißt, wenn man jetzt von einer bestimmten Menge, bei der vielleicht auch was anderes drin ist als Steine, wenn man wissen möchte, oder beweisen möchte, dass alle Elemente dieser Menge eine bestimmte Eigenschaft haben, dann müsste man diese Elemente nummerieren, um hier in diesem Induktionsschritt beweisen zu können, dass wenn das eine Element die Eigenschaft hat, dann hat auch das nachfolgende Element die Eigenschaft. Aber ein Punkt fehlt noch. Denn obwohl wir wissen, dass wenn der eine Stein umfällt, dann fällt auch der andere Stein um, fällt ja hier im Moment trotzdem überhaupt gar kein Stein um. Das liegt daran, dass ich den ersten Stein noch nicht angestoßen habe. Damit alle Steine umfallen, brauchen wir einen Induktionsanfang. Das heißt bei uns nicht mehr und nicht weniger als dass der erste Stein, nämlich S1, umfallen muss. Wenn der umfällt, dann wissen wir, dass der Nachfolgende umfällt und danach und danach fallen alle um. Das ist das Prinzip der Vollständigen Induktion.  Allgemein gesagt: Wenn wir eine Menge haben, mit Elementen darin, die nummeriert sind, dann wissen wir, dass alle Elemente eine bestimmte Eigenschaft haben, wenn wir zum einen wissen, dass das erste Element diese Eigenschaft hat und wir wissen, dass jedes weitere Element auch diese Eigenschaft hat. Wenn ein Element die Eigenschaft hat, dann hat das nächste auch die Eigenschaft. Dann können wir nach diesem Beweisprinzip darauf schließen, dass alle Elemente dieser Menge diese Eigenschaft haben.  Was fehlt noch? Richtig, das Anstoßen. Tschüss.                         

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5 Kommentare
  1. Default

    Gut erklärt.

    Von Siciliakatze, vor 4 Monaten
  2. Default

    ihre Videos sind immer toll

    Von Sumonasatter, vor 5 Monaten
  3. Default

    Klasse Video! :)

    Von Slysonnenseele, vor mehr als einem Jahr
  4. Flyer wabnik

    Stimmt! Weitere Videos dazu mache ich morgen.

    Von Martin Wabnik, vor fast 7 Jahren
  5. Default

    Das Video ist gut, nur leider viel zu kurz. Es fehlt eine Beispielaufgabe sowie der wichtige Begriff der Induktionsbehauptung/-vorraussetzung. Ich weiß zwar jetzt was Induktion ist, aber ich kann deswegen noch keine Aufgabe rechnen. So hilft einem das Video nur begrenzt weiter. AUSBAUFÄHIG!!!

    Von Sefco, vor fast 7 Jahren