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Transkript Vollständige Induktion – Beispiel (3)

Hallo! Mit der vollständigen Induktion kann man auch schon einmal Ungleichungen beweisen, wie z. B. diese hier: Das ist die penolische Ungleichung. Und zwar lautet sie (1+x)n≥1+n×x. Und das gilt für alle x, für alle reellen Zahlen x, die größer als -1 sind. Wenn wir das jetzt mit der vollständigen Induktion beweisen wollen, können wir natürlich nicht die Induktion über x machen, denn x sind reelle Zahlen, die reellen Zahlen sind überabzählbar da kommen wir nie zum Ende. Übrigens da sieht man wieder, dass es gar nicht so blöd ist, sich darüber Gedanken zu machen, ob die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, oder ob sie nur abzählbar unendlich ist. Hier sieht man, an der kleinen Gleichung, dass das schon konkrete Auswirkungen hat, aber da möchte ich jetzt gar nicht weitererzählen über dieses relativ spannende Gebiet, sondern wir machen einfach die Induktion über n, da wissen wir, woran wir sind. Und zwar, n sollen natürliche Zahlen sein, das steht hier für jede natürliche Zahl. Gut, dann müssen wir einen Induktionsanfang haben und der geht los bei 1. Wir können für n 1 einsetzen und dann steht da: (1+x)1, ja das bleibt gleich, da gibt es nichts weiter zu machen, gleich 1+1×x, naja hier steht 1+x, da steht auch 1+x, es ist ≥, das ist richtig. Man kann übrigens nicht das ≥ durch das > ersetzen, weil man hier ja sieht, dass die beiden Terme tatsächlich gleich sind und nicht größer. Deshalb nur ≥. Jetzt brauchen wir den Induktionsschritt, Induktionsvererbung kann man auch sagen, hier hab ich auch gelesen Induktionsverankerung, wie man das auch immer nennen will. Das ist die Induktionsverankerung, Entschuldigung. Der Induktionsanfang ist die die Induktionsverankerung und dann kommt die Vererbung. Das ist die Vererbung, der Schritt von n auf n+1. Wo ich schon mal darüber quassel, ich hab das auch in Büchern gesehen, dass hier n steht und bei dem Induktionsschritt verwendet man k. Kann man begründen, dass man da ein k verwenden sollte, man kann auch begründen, dass man hier ruhig das n verwenden kann. Das k verwendet man dann schon mal statt des n´s um eben darauf abzuheben, das ist hier die eine Überlegung und das ist der Satz, in dem das n steht. Wie auch immer, ich will da gar nicht jetzt so großartig darauf eingehen, ich hoffe du akzeptierst das auch mit dem n hier und es ist genauso instruktiv, als wenn ich k geschrieben hätte. Also, wir fangen oben an. Wir wissen schon, dass die Behauptung für 1n gilt, und möchten jetzt irgendwie darauf kommen, dass wenn das für n gilt, dass es dann auch für n+1 gilt. Also die Behauptung gilt für eine natürliche Zahl, die habe ich hier hingeschrieben, also nicht die natürliche Zahl, sondern die Behauptung. Und jetzt können wir also einfach diese Gleichung hier mit 1+x multiplizieren.  Diese Ungleichung, natürlich ist es nicht eine Gleichung, und da steht hier 1+xn+1 und das ist ja genau das was wir haben wollen, wir möchten für den Fall hier auch die penolische Ungleichung zeigen. Was passiert auf der anderen Seite, wir multiplizieren das, was hier steht mit 1+x, multiplizieren das aus, das kommt dann heraus: 1+nx+x+nx2. So und jetzt kommt ein Trick, man lässt nämlich einfach das hier weg. Sag ich gleich noch was zu, was das soll. Also wir lassen das jetzt weg und dann steht da einfach nur noch 1+nx+x und hier kann man das x ausklammern und dann steht da n+1, nicht wahr, das ist ja das gleiche wie n×x+x. Wenn man das jetzt noch davor schreibt, hat man die penolische Ungleichung für nn+1 das ist die Lage, das wollen wir haben.

(1+x)n+1 - Ich hoffe das ist jetzt gut genug erkennbar. Das ist ≥ 1+(n+1)×x. Das ist die penolische Ungleichung, wenn wir statt n, n+1 einsetzen. Damit ist der Induktionsschritt gelungen, die Induktionsbehauptung ist gelungen. Jetzt müssen wir noch klären, wie ist das hier mit dem Weglassen? Es geht ja normalerweise nicht, dass man da einfach etwas weglassen kann. Wir wollen zeigen, dass das, was hier steht, > oder = dem ist, was hier steht. Wir haben angefangen mit hier dieser richtigen Behauptung. Das wussten wir schon, dass das richtig ist, denn wir haben auf beiden Seiten mit einer Zahl multipliziert, die größer als 0 ist. Wenn wir das machen, bleibt die Ungleichung erhalten und sie bleibt weiter richtig. Hätten wir mit einer Zahl multipliziert, die negativ gewesen wäre, würde sich das > umdrehen und so, und das haben wir aber nicht gemacht, weil hier die Voraussetzung ist, das x größer als -1 sein soll. Wenn das also der Fall ist, 1+x>0, deshalb können wir einfach damit multiplizieren.  Wir wissen also, dass diese Behauptung hier richtig ist. Das Problem ist nur, dass das hier noch nicht wie die penolische Ungleichung aussieht. Hier habe ich eine Termenumformung gemacht, das ist kein Problem da bleibt es das Gleiche. Und wenn ich jetzt aber etwas weglasse, was > oder = 0 ist, dann ist diese Ungleichung hier weiter richtig. Ich will ja haben, dass das hier größer als das ist. Das soll größer sein. Und wenn ich jetzt hier etwas weglasse, was eben > oder = 0 ist, dann bleibt die Ungleichung hier erhalten und ich muss mir darüber keine Sorgen machen. Jetzt ist die Frage ist nx2 denn nun > oder = 0 oder könnte es gleich vielleicht < als 0 werden. Wir wissen, dass x2 sowieso immer > oder = 0 ist und wenn wir das mit einem n multiplizieren, wir wissen n ist eine natürliche Zahl, 1, 2, 3, 4, 5 usw. davon gehen wir jetzt gerade aus, d. h. das n ist auch > als 0, was heißt auch > es ist > als 0 und damit ist nx2 > oder = 0. Warum nicht > als 0? Weil ja x auch =0 sein kann. Wenn x=0 ist, ist natürlich nx2=0 und mann hier eben nicht in dem Fall schreiben, dass hier das > gilt, es bleibt bei ≥. Würde man die 0 ausschließen, dann könnte man tatsächlich dann hier das > hinschreiben. Ist aber nicht der Fall, wir wollen die 0 dabei behalten und deshalb ändert sich hier an dem Zeichen nichts, obwohl wir, also viele jetzt so im Geiste natürlich mitdenken und sagen, normalerweise ist ja nx2>0, dann ist es ja normalerweise, haben wir ja tatsächlich was weggelassen und das, was hier steht, in dieser Zeile ist tatsächlich kleiner als das, was hier steht, und deshalb kann man hier das echte < verwenden. Aber nun gut. Die penolische Ungleichung ist so, sie gilt auch für x=0, daher dieses Zeichen und damit glaub ich, ist alles zu diesem Beweis gesagt mittels vollständiger Induktion. Viel Spaß. Tschüss!

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