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Transkript Vollständige Induktion – Beispiel (2)

Hallo! Hier steht eine Behauptung, die du mit vollständiger Induktion beweisen kannst. Die Behauptung ist: Die Summe der Quadratzahlen von 12 über 22, 32 usw. bis zu n2, die Summe dieser Quadratzahlen=n×(n+1)×(2n+1) und das Ganze geteilt durch 6. Das ist die Lage. Das wollen wir beweisen, und zwar mithilfe der vollständigen Induktion.Dazu brauchen wir 1. einen Induktionsanfang, 2. einen Induktionsschritt. Induktionsanfang bedeutet, wir müssen zeigen, es gilt für ein 1. n, in unserem Fall für 1. 2. müssen wir zeigen, wenn diese Behauptung für ein bestimmtes n, also für eine bestimmte Zahl, richtig ist, dann ist die Behauptung auch richtig für die darauf folgende Zahl, das heißt für n+1. Wir befinden uns innerhalb der natürlichen Zahlen, sonst macht es keinen Sinn. Gut, dann mach ich das mal eben, und zwar Induktionsanfang, oder manche sagen auch Induktionsvoraussetzung, gilt für n=1. Wir haben die Summe der 1. Quadratzahlen, hier ist noch nicht so viel zu summieren, wenn wir nur eine haben, aber egal. Trotzdem kann ja die Behauptung richtig sein. Dann müssen wir hier für n 1 einsetzen. Dann steht da 1×(1+1) ist 2. (2×1+1) ist 3 geteilt durch 6 ist wieder 1, das, was wir haben wollten. 12 ist ja auch 1, nicht wahr? Brauchen wir nicht lange darüber reden. Jetzt müssen wir also den Induktionsschritt beweisen, wenn es für n richtig ist, das heißt, die Summe der 1. n-Quadratzahlen kann man so ausrechnen, dann kann man auch die Summe der 1. n+1-Quadratzahlen so ausrechnen, und zwar, indem man für n jeweils n+1 einsetzt, nämlich die darauf folgende Zahl. Und das habe ich hier mal vorbereitet: so könnte man da vorgehen. Wir haben also die Summe der 1. Quadratzahlen bis n und addieren noch (n+1)2 hinzu. Wir wissen schon, das dürfen wir ja voraussetzen, dass diese Behauptung für die ersten n-Quadratzahlen schon gilt und das habe ich hier angewendet. Das ist einfach die Formel, die habe ich da hingeschrieben. Wenn wir jetzt noch (n+1)2 addieren, was müsste da eigentlich herauskommen? Das ist hilfreich, wenn man sich das mal direkt vorstellt und direkt auch mal aufschreibt - gerade hier, wenn man da jetzt so in den Beweis einsteigt und da ein bisschen was verändern muss, dann ist es gut, wenn man auch mal von hinten anfängt und sich überlegt: Was müsste denn eigentlich herauskommen, was ist denn die Formel? Nun, ich habe jetzt in dieser Formel immer für n n+1 eingesetzt, das ist klar, denke ich. Wenn ich hier für n n+1 einsetze, steht hier natürlich n+2 und wenn ich hier für dieses n n+1 einsetze, dann steht hier ja 2×n+1 und das ist 2n+2 und dann kommt hier noch diese +1 hinzu, deshalb steht hier 2n+3. Das soll da herauskommen. Wenn das herauskommt, wenn das hier das Gleiche ist, dann ist der Beweis gelungen. Ja, wie macht man das? Wenn du keine Idee hast, wie du jetzt weiter machst, dann kannst du das einfach hier stumpf ausmultiplizieren alles und das auch. Das wird so lang, macht nichts, aber es wird das Richtige herauskommen. Was du aber auch machen kannst, ist versuchen, geschickter vorzugehen. Man muss immer ein bisschen abwägen: Ist es gut, noch weiter zu überlegen, um das vielleicht noch geschickter irgendwie hinzukriegen oder rechne ich einfach stumpf geradeaus? Da muss man immer ein bisschen abwägen. Ich möchte hier so ein bisschen beides machen. Also, wir sehen hier, wir können n+1 ausklammern und wir sehen auch, hier haben wir so ein ganzes Ochsengedröhn oben auf dem Bruchstrich stehen, das heißt, es wäre ganz praktisch, wenn das hier auch der Fall wäre. Wenn wir das also hier erweitern würden mit 6, dann haben wir alles auf einem Bruchstrich. Und wenn wir dann hier n+1 ausklammern, hier haben wir das auch schon, das reduziert sich die ganze Sache auf dieses Ausmultiplizieren, auf diesen Term hier. Das mach ich mal vor: Wir haben n+1, das wollen wir ausklammern, /6 auch ausklammern. Dann folgt: Wir müssen noch berechnen n×2n+1 und hier hinten steht noch +6×(n+1). Wenn ich das hier auf den Bruchstrich bringen will, dann muss ich es natürlich mit 6 erweitern und dann habe ich hier die 6 stehen. Wenn ich das jetzt hier ausmultipliziere, dann muss das gleich das hier sein. Wenn ich (n+1)/6 ausklammere, dann steht hier noch (n+2)×(2n+3). Okay? Jetzt kann man einfach gucken, ob das gleich ist. (n+1) ist ausgeklammert, /6 auch und dann haben wir hier (2×n2+n) und 6n kommen noch dazu und +6. Ich gucke gerade, ob ich es richtig gemacht habe. Ich hoffe ja, dass ich ein bisschen rechnen kann, man weiß es nicht. Und hier kann ich das auch machen. n×n sind 2n2, n×3 sind 3n, 2×2n sind 4n und 2×3 ist 6. Und da würde ich jetzt sagen, wenn wir jetzt diese beiden Terme hier vergleichen, da gibt es glaube ich keine Diskussion, die sind gleich. n+6n sind 7n, 3n+4n sind auch 7n und damit würde ich sagen ist der Beweis gelungen. Das ist vielleicht manchmal hier ein bisschen unbefriedigend, da muss man ein bisschen rechnen und ein paar Tricks anwenden vielleicht, aber gut. Dann können wir sicher sein, dass diese Behauptung richtig ist, das heißt, der Induktionsschritt ist gelungen. Und da wir auch den Induktionsanfang haben, hier steht er, können wir sicher sein, dass diese Behauptung hier für alle n richtig ist, für alle natürlichen Zahlen. Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Hallo,

    ich weiß leider nicht, wie man auf Videokommentare antwortet, aber vielleicht ist es hier auch hilfreich. Die Frage steht im Video bei 5:45.
    Es steht kein ² hinter der klammer, weil aus jedem Term das (n+1) ausgeklammert wurde. Auch aus diesem.
    (n+1)² = (n+1)(n+1)
    So sieht es aus, wenn man aus (n+1)² das (n+1) ausklammert. Im Video stehen zwischen den Klammern noch andere Therme und das ausgeklammerte steht ganz vorne. Deswegen ist es vielleicht nicht sofort ersichtlich.

    Von K Becker, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    ein weiteres video mit einer ungleichung wäre super!

    Von Bootylicious1, vor fast 4 Jahren