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Transkript Verkettete Funktionen – Definition

Hallo, was ist eine verkettete Funktion? Das ist das Thema hier,dazu brauchen wir eine Funktion f(x) =x² zum Beispiel. Das ist nichts Neues,kein Problem. Eine weitere Funktion g(x)= 3x+4, das ist auch nichts Neues, kein Problem. Aber jetzts kommt´s: wir können diese beiden Funktionen verketten. Schreibt man hier mit so einem kleinen Kreis und da steht dann Folgendes: (f o g) (x). Das ist die neue Funktion, die entsteht, wenn man diese Beiden hier in der Reihenfolge verkettet. Und wenn wir wissen wollen, was ist das für eine Funktion, müsen wir uns überlegen wir berechnet man denn die Funktionswerte dieser Funktion und das macht man folgendermaßen: wenn man jetzt eine Zahl  für x einsetzt, dann rechnet man zunächst g von x aus und das Ergebnis, was hier rauskommt, setzt man hier für x in f von x  ein. Das heisst, man rechnet f von das Ergebnis von g von x oder kurz f von g von x. Weil man das so ausrechnet, nennt man diese Schreibweise, oder so eine verkettetet Funktion nennt man f nach g. Jetzt steht hier zwar f vor g, aber es wird ja erst g von x ausgerechnet und das Ergebnis wird dann in die Funktion f eingesetzt in dieser Funktionstherm und dann ausgerechntet, das heisst f wird ja tatsächlich nach g ausgerechnet. Also hier f nach g. Wie sieht der Funktionstherm aus, wenn man diese beiden hier auf diese Art verknüpft? Wir rechnen erst g von x, das ist also 3 x+4 und das Ergebnis davon wird quadriert und das ist der Funktionstherm. ( 3x+4 )2 Zwei Sachen möchte ich dazu sagen und zwar aus folgendem Grund: als ich das zum ersten Mal gehört habe, fühlte ich mich so ein bisschen wie Faust, als er sagte: "Die Botschaft führt ich wohl allein, mir fehlt der Glaube." Und zwar deshalb, weil sich ja hier Vieles daraus ergibt und ich finde es richtig, da mal inne zu halten und sich das mal zu überlegen, was wir denn hier eigentlich gemacht haben. Zwei Sachen sage ich dazu: zum Einen: diese Funktion ist nicht besonders aufregend normalerweise, die kennst du auch schon. Mit solchen Funktionen hast du gerechnet, aber jetzt erfährst du also, und das ist das Neue, dass eine solche Funktion eine verkettete Funktion ist. Zumindest, dass sie auch durch Verkettung zweier Funktionen entstehen kann. Und das muss man sich einfach so auf der Zunge zergehen lassen. Das ist so ein bisschen, so ähnlich ist vielleicht an den Haaren herbeigezogen, aber so ein bisschen ähnlich als wenn man 10 Jahre verheiratet ist und die Frau kommt zu Einem und sagt: "Du Schatz, ich muss dir was sagen: ich bin schwul."Da guckt man auch erstmal dumm aus der Wäsche  und hier ist es so ähnlich. Man rechnet die ganze Zeit mit irgendwelchen Funktionen herum und stellt fest, das ist ja Teil einer größeren Struktur, die ich bisher noch gar nicht gesehen habe. Nämlich es ist eine Verkettung von Funktionen, habe ich gar nicht damit gerechnet. Manche finden das toll und sagen: " Gut, das ist das Wundeland der Mathematik, es ergeben sich Zusammenhänge, es tun sich Träume auf, Strukturen tun sich auf hinter solchen einfachen Dingen von dem man noch gar nichts wusste." Und manche Leute finden das gruselig und wenden sich mit Grausen ab. Wie man das hier besser verstehen kann, sag ich gleich noch was dazu, aber der zweite Punkt, der hier emotional interessant  ist, ist Folgender; wir haben hier eine Rechenoperation, und zwar diesen kleinen Kreis, das ist nicht nur ein neues Zeichen, das ist also eine qualitativ neue Rechnung. Wir haben bisher Grundrechenarten gehabt: addieren, subtrahieren, dividieren und so weiter und wir haben Wurzeln gezogen und haben trigonometrische Funktionen gehabt und so weiter, auch haben wir damals gerechnet. Aber das hier, das ist wirklich komplett neu, das man Funktionen verkettet. Ich hätte ja  verstanden, wenn man Funktionen adiert oder subtrahiert oder was, das wär nicht so aufregend gewesen, aber das ist wirklich komplett neu und da fragt man sich ja: "  Was ergibt sich denn alles daraus? da muss sich ja eine ganz neue Mathematik daraus ergeben oder zumindest ein Teilgebiet der Mathematik." Und genauso ist es. Da ergibt sich eine ganze Menge daraus, das ist wirklich der Start in ein großes Feld der Mathematik, ich weiss gar nicht wie ich es ausdrücken soll, was sich alles daraus ergibt, tatsächlich. Das werd ich hier nicht alles erzählen, im Zusammenhang der Schulmathematik ist halt wichtig, dass sich daraus die Kettenregel ergibt, für Ableitungen braucht man die, und es ergibt sich die Integration durch Substitution aus dieser Verknüpdung hier und das ist dann das Thema des Schulstoffs. Wenn du danach weiter machen möchtest, da erwarten dich noch spannenden Themen zu dieser Verknüpfung hier. Also, ich wollte darauf nochmal zurück kommen wie man sich so eine Verkettung vorstellen kann und zwar passiert ja Folgendes: wenn wir eine Funktion auswerten, das heisst wir möchten einen Funtionswert ausrechnen an einer bestimmten Stelle: dann setzen wir was für das x ein und rechnen mit dem x hier in dem Fall zunächst  3 x. Es gilt ja Punkt vor Strich Rechnung, also rechnen wir 3 * -2. Danach rechnen wir, das was hier rausgekommen ist, das Ergebnis von 3 * x , dazu wird 4 addiert, also rechnen wir 3 * -2 + 4. Und danach, also wenn wir diesen Funktionstherm hier an der Stelle x gleich -2 auswerten, dann rechnen wir dann 3 -2 +4, also das Ergebnis von 3 * -2 +4². Das ist quasi eine Kette, wenn man sich Folgendes vorstellt, also wir haben hier das erste Mal, das wir was einsetzen, dann macht man hier die erste Rechnung und hier noch eine Rechnung  und da noch eine Rechnung und die wird quasi hier zusammen gehalten von diesen Pfeilen, weil wir das hintereinander ausführen und so ergibt sich dann rein geometrisch, optisch eine Kette und unter anderem deshalb nennt sich das auch Kettenregel, weil man sich das so als Kette vorstellen kann. Dann ist die Frage: sind denn alle Funktionen, die wir bisher hatten, verkettete Funktionen? Oder gibt es auch welche, die keine sind? Ja, es gibt welche, also nicht alle, die du bisher kanntest, sind verkettete Funktionen. Zum Beispiel gibt es die Funktion 3x ² +2x ^5 +1. Wenn man jetzt hier diesen Therm ausrechnen möchte, zum Beispiel an der Stelle x =4 , dann muss ma erst für x 4 einsetzen, dann rechnet man 4² , danach rechnet man 3 * 4² und dann braucht man hier das +, also es wird etwas addiert und zwar das Ergebnis von diesem Therm, hier hat man auch x= 4 eingesetzt, dann hat man gerechnet 45  und danach hat man 2 *45 gerechnet und hier wird es dann alles addiert und dann geht es da weiter.   Das, was ich hier jetzt aufgeschribene habe, das sind ja zwei Ketten eher. Ja, man hat hier die eine Reihenfolge, mit der man rechnen kann, und hier die andere Kette. Das heisst, das ist jetzt also keine verkettete Funktion und zwar, weil man hier diese beiden Rechnungen quasi parallel ausführen muss und sie dann hinterher zusammengefügt werden und das ist halt nicht so wie das hier aussieht, dass man eine durchgehende Kette hat.

Ja, und das solls erstmal zu der Erklärung gewesen sein mit Emotionen dahinter, es folgen weitere Beispiele. Bis dahin!  Tschüß.

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6 Kommentare
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    +4 nicht +2... Du musst die 3 dann mit (x^2 -2x +1) multiplizieren. Unten steht die Lösung ausführlich.

    Von M00 5, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Hallo,
    die Lösung müsste doch 3x^2 - 7x +2 lauten - das erste Ergebnis war m.E. nach richtig? Ausmultiplizieren mit der 2.binomischen Formel?

    Von Timm Hi, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    wow danke für die schnelle reaktion!

    Von M00 5, vor mehr als 2 Jahren
  4. Giuliano test

    @M00 5:
    Du hast recht. Wir werden das sofort korrigieren. Danke für deinen Kommentar.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    Die Aufgabe zum selber lösen wird ohne richtige Lösung angeboten. Wenn ich mich Irre, zeigen Sie mit bitte den Fehler in meiner Lösung:
    (f ○ g)(x) = f(g(x))= 3(x-1)^2 -(x-1) = 3(x^2 -2x +1) -x +1 =
    = 3x^2 -6x +3 -x +1 = 3x^2 -7x +4

    Laut der Lösung von oben ist angeblich (f ○ g)(x) = 3x² -4x +2 ?????

    Von M00 5, vor mehr als 2 Jahren
  1. Default

    Ich würde auch komisch gucken wenn mir meine Frau sagt das sie Schwul ist :D

    Prinzipiell sind Beispiele aus realen sitationen zwar hilfreich, aber abgesehen davon das das Beispiel keinen Sinn ergibt, ist es auch weniger hilfreich sondern lenkt vom thema ab -.-

    Von Matthias Juncker, vor fast 4 Jahren
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