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Transkript Verkettete Funktionen – Beispiel 2

Hallo! Ich möchte mal ein paar kleine Beispiele zeigen von verketteten Funktionen, und zwar Funktionen, die eigentlich nur eine Verkettung zulassen. Es gibt nur eine vernünftige Verkettung, die man hier sehen kann. Das ist einmal dieser Funktionstyp, in dem eine Wurzel vorkommt und unter der Wurzel ist eine Summe oder so was Ähnliches, ja. Hier zum Beispiel f(x) = \2qrt (22+x2). Nur Mal so nebenbei erwähnt: \sqrt (22+x2) ist nicht 2 + x. Weil es immer wieder vorkommt, sage ich es noch mal, das ist falsch. Man kann aus Summen keine Wurzeln ziehen. Wenn du einen Funktionswert ausrechnest oder überhaupt einen solchen Term ausrechnest, rechnest du zunächst x2, dann rechnest du 4 + Ergebnis von x2 und dieses Ergebnis schreibst du dann hier unter die Wurzel. Also \sqrt (4+x2). Es gibt nur als vernünftige Möglichkeit hier den Strich zu setzen, zu sagen also bis hierhin ist die innere Funktion, die habe ich jetzt Mal als h(x) bezeichnet, ist also 4 + x2. Und danach kommt die äußere Funktion g(x) und das ist \sqrt (x). Die Funktion g(x) schreiben wir  jetzt nicht hier mit dem x, sondern mit h(x). Wir setzen das Ergebnis von h(x) in die Funktion g ein und das ergibt dann hier g (h(x)), das ist die \sqrt (h(x)). Damit ist hier h die innere Funktion, g die äußere, weil ja h hier in der Klammer steht oder man kann auch sagen g nach h. Obwohl g vorne steht, sagt man g nach h, weil ja erst h(x) ausgerechnet wird und dann das Ergebnis von h(x) in die Funktion g eingesetzt wird und dann weiter gerechnet wird. So das ist dieser Typ. Der andere Typ ist Exponentialfunktionen. Da gibt es oftmals auch nur eine einzige Möglichkeit, und zwar immer dann, wenn im Exponenten ein Term steht, den man erst ausrechnen muss. Dann muss man halt immer erst diesen Term ausrechnen und dann Basis hoch das Ausgerechnete weiter rechnen. Die Funktion heißt hier f(x) = e2(x3). Und wenn du hier ein Ergebnis ausrechnen möchtest, rechnest du x3 als Erstes, dann dieses Ergebnis mal zwei, also 2x3 und dann e2(x3). Falls du die Zahl e nicht gehabt hast oder aus welchen Gründen auch immer wieder vergessen hast, du kannst dir hier auch irgendeine andere Zahl denken, nein, nicht irgendeine, sondern eine positive Zahl ungleich 1, wenn es geht, damit es auch eine richtige Funktion wird. Also 2, 3, 4, 5 tut es alles, kein Problem. Da rechnet man es eigentlich alles genau so. Ja, dann ist die Funktion v(x). Das soll jetzt mal hier die erste Funktion sein, die innere Funktion. Die ist dann gleich 2x3 und u(x) ist einfach ex und jetzt werden wir diese beiden verknüpfen hier, diese wohlbekannten Funktionen, dann bekommen wir u von, ja nicht von x, sondern v(x); v(x) ist in der Klammer. Deshalb heißt es innere Funktion und das schreibt man dann als ev(x) und hier haben wir diese Verkettung  (u° v)(x)) = ev(x). Also, da läuft es immer in der Richtung hier und es gibt einen weiteren Funktionstyp, der letzten Endes als Verkettung dann auch immer gleich aussieht, nämlich wir haben einen Term, dann wird was mit dem x gemacht und das Ganze wird dann in die Funktion sin(x) eingesetzt, zum Beispiel. Dann kann man auch noch mal ½ rechnen oder so was, das ist dann kein Problem mehr. Wenn du diese Funktion hier f(x) = sin (x2) /2 ausrechnen möchtest, rechnest du zunächst x2, dann sin(x2) und dann ½ mal dieses Ergebnis, also ½(sin (x2)). Die innere Funktion ist dann, das ist t(x), ja immer wieder andere Bezeichnungen hier, t(x) = x2. s(x) = ½(sin (x)) oder Sinus x sagt man auch einfach. Mal ½ ist das Gleiche wie geteilt durch 2, nur damit wir uns da verstehen. Und wir wollen jetzt hier in die Funktion s(x) nicht an dieser Stelle x einsetzen, sondern t(x) und dann haben wir hier s (t(x)) = ½ Ø sin (t(x)), Multiplikationszeichen. Und auch hier kann man wieder schreiben, diese Funktion ist s nach t oder s verknüpft mit t, verkettet mit t. Erst rechnet man t(x) und das Ergebnis setzt man in die Funktion s ein, in ½ mal sin(x) und statt x steht dann da eben t(x). Auch hier ist das wieder die einzige vernünftige Möglichkeit, hier eine Verkettung zu konstruieren und praktisch damit die Kettenregel und die Substitution anzuwenden, aber das kommt dann in dem späteren Film. Viel Spaß damit! Tschüss.

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3 Kommentare
  1. Mariam1

    Hallo,
    die Antwort wurde nun auch in dem Test korrigiert.
    Viele Grüße

    Von Mariam L., vor mehr als 4 Jahren
  2. Flyer wabnik

    Oh, da ist was schief gegangen. Die 2. Funktion ist diejenige, die nicht verkettet ist. Die Frage wird in Kürze korrigiert.

    Von Martin Wabnik, vor etwa 7 Jahren
  3. Default

    wieso ist die 2. Funktion in den "Fragen zum Video" eine verkettete Funktion?

    Von Wino, vor etwa 7 Jahren