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Transkript Verkettete Funktionen – Beispiel 1

Hallo! Verkettete Funktionen werden innerhalb der Schulmathematik vor allem deshalb behandelt, weil du damit nach Kettenregel ableiten kannst und weil du mithilfe verketteter Funktionen durch Substitution integrieren kannst. Für beide Zwecke ist es wichtig, dass du einer Funktion ansiehst, ob sie verkettet ist oder nicht. Das heißt, du hast eine Funktion gegeben und sollst feststellen: Ist es eine verkettete Funktion und wenn ja, welche 2 Funktionen werden da miteinander verkettet? Dazu habe ich hier mal ein Beispiel vorbereitet. Es ist f(x)=(1/(x2-4))3. Es ist tatsächlich eine verkettete Funktion und du kannst auf diese Tatsache kommen, indem du dir überlegst: Wie würde ich denn diese Funktion an einer bestimmten Stelle auswerten? Oder: Wie bestimme ich einen Funktionswert dieser Funktion? Du setzt also etwas für x ein, das hab ich jetzt nicht hier hingeschrieben, rechnest dann x2, also das, was du für x eingesetzt hast, zum Quadrat. Mit dem Ergebnis rechnest du weiter, also x2-4. Also, von dem Ergebnis wird 4 abgezogen. Dann rechnest du dieses Ergebnis hoch -1, was ja das Gleiche ist wie 1 geteilt durch dieses Ergebnis, ich wollte es nur hier noch mal in der Schreibweise hinschreiben. Dieses Ergebnis rechnest du dann hoch 3, und das ergibt eine ordentliche Verkettung. Immer wenn du so eine Linie hier hast, in der du die Ergebnisse immer wieder einsetzt, in andere Rechnungen, dann ist das eine verkettete Funktion, und die beiden Funktionen, die hier miteinander verkettet sind, kann man jetzt so bezeichnen: als u(x)=(x2-4)^-1 und es ist v(x)=x3, wobei hier natürlich nicht dieses x da eingesetzt wird, sondern wir setzen in die Funktion v u(x) ein und rechnen dann v(u(x)). u(x) ist schon dieser Term hier, und der wird hier mithilfe von v nur noch hoch 3 gerechnet. Mal salopp gesagt. Ich weiß, viele Autoren verwenden hier nicht das x, ich finde das hier stimmiger an der Stelle, weil man normalerweise Funktionen als f(x) oder g(x) usw. schreibt und ich denke, wenn man da jetzt wieder andere Variablen einsetzt, dann finde ich das zu durcheinander. Ich habe wohl daran gedacht, aber ich mache das mit Absicht so, wollte ich nur gesagt haben. Jetzt gibt es ja hier in dem Wunderland der Mathematik mehrere Möglichkeiten, das heißt, du kannst auch diese Funktion anders verketten. Und zwar folgendermaßen. Hier habe ich wieder diese Rechnung aufgeschrieben. Erst x2 rechnen, dann x2-4, dieses Ergebnis hoch -1 und das Ergebnis davon hoch 3. Du kannst auch sagen: O. k., ich rechne erst x2-4, das ist meine Funktion g(x), x2-4 und die Funktion h(x) soll jetzt x^-3 sein. Also hier, Ergebnis hoch -3, denn hoch -13 kannst du ja zusammenfassen zu hoch -3, und dann ist hier also diese verkettete Funktion h(g(x))=(g(x))^-3. Übrigens deshalb, weil diese Klammerlage hier so ist, sagt man, dass g(x) die innere Funktion ist und h ist die äußere Funktion. Hier sieht man das auch, g(x) ist in der Klammer drin, und mit diesem gesamten g(x) wird dann etwas gemacht, nämlich hoch -3 gerechnet, das ist außen, und deshalb ist also g die innere Funktion und h die äußere. Wenn du auf diese Verkettungen kommst, indem du dir diese Linie hier überlegst, indem du dir überlegst, „Was muss ich wann rechnen, um auf den Funktionswert zu kommen?“, dann ist von Anfang bis zu einem bestimmten Punkt, bis hier zum Beispiel, immer die innere Funktion und das was danach kommt, ist die äußere. Hier genauso, Innere ist bis hier und dann machst du einen Strich, quasi in Gedanken, und sagst: „Ab da ist die äußere Funktion.“ Wie gesagt, hier ist es eine Linie, aber hier siehst du, da ist u(x) innen und v ist außen, deshalb ist diese Sprechweises wohl gerechtfertigt. Es gibt eine weitere Möglichkeit, wie du diese Funktion hier als Verkettung auffassen kannst. Und zwar hab ich da mal Folgendes vorbereitet. Wir haben wieder die Kette fast wie in diesen anderen beiden Fällen, aber es ist eine kleine Abweichung da. Wir rechnen jetzt zunächst die Klammer, also (x2-4)3, und das Ganze 1 durch. (x2-4)3. Hier und hier kommt jeweils das Gleiche raus, es sind ergebnisgleiche Terme, und deshalb kannst du hier auch eben erst hoch 3 rechnen und dann 1 durch, bzw. dann hoch -1. Dann ergibt sich eine etwas andere Situation, ich hab das jetzt hier t(x) genannt. t(x)=(x2-4)3. Und die Funktion, die danach kommt, hier ist wieder der Strich, die Funktion, die danach kommt, ist einfach 1/x. s(x)=1/x. Wobei jetzt hier nicht x eingesetzt wird, sondern t(x), das heißt, das Ergebnis von t(x) wird hier in s, in die Funktion s, eingesetzt, um den Funktionswert an einer bestimmten Stelle auszurechnen. Und es ergibt sich dann die Funktion s(t(x))=1/t(x). Das dazu. Es gibt aber noch eine Möglichkeit, wie du die ganze Sache hier verstehen kannst. Mir fällt übrigens auf, dass man hier das h(x) auch noch anders schreiben kann. Falls du auf diese andere Möglichkeit gekommen bist: Herzlichen Glückwunsch. Ist jetzt nicht ganz so nötig, das jetzt hier aufzuschreiben, ich wollte nur sagen, auch das ist möglich. Nur, falls du eine andere Einteilung gefunden hast, das ist alles schon so korrekt. Du kannst auch den Funktionsterm, den wir hier haben, so schreiben. Nämlich, du siehst ja gleich, x2-4 ist eine binomische Formel, 3. binomische Formel kann man anwenden. Und zwar ist ja x2-4=(x-4)×(x+4). Wenn du jetzt hieraus eine Kette machen möchtest, dann fängst du zum Beispiel an mit x-4 und möchtest dann weiterrechnen, und dann siehst du, das geht irgendwie nicht. Und zwar deshalb, weil du das Ergebnis brauchst, von x+4. Dieses Ergebnis von x+4, das kannst du jetzt hier weiterverarbeiten, das geht dann nicht nach unten, das geht dann quasi so nach oben, die beiden kannst du jetzt multiplizieren und dann mit diesem Ergebnis weiterrechnen. Also 1 durch das Ergebnis und das hoch 3 usw. Aber, da du hier jetzt 2 Zeilen brauchst, ist das keine verkettete Funktion mehr, zumindest nicht in dieser Schreibweise. Dieses Beispiel führe ich an, damit du verstehen kannst, dass manchmal es auch nötig ist, eine Funktion, die zum Beispiel mit diesem Funktionsterm gegeben ist, erst so umzuschreiben, dass es eine verkettete Funktion wird. Auch das kann gefordert sein. Wenn du das hier zum Beispiel ohne Kettenregel ableiten wolltest, wäre das ziemlich aufwendig. Mit Kettenregel geht es viel, viel einfacher, und deshalb ist es auch dann interessant für dich, dass du immer bei Funktionen kuckst: „Sind die verkettet oder kann ich vielleicht eine verkettete Funktion daraus machen?“ Zusammenfassend also wie gesagt, es gibt nicht nur mehrere Möglichkeiten, wie man etwas verketten kann, also, wenn man schon eine verkettete Funktion hat, kann man an unterschiedlichen Stellen diese Kette unterteilen und 2 verschiedene Funktionen verketten. Du kannst auch diesen Funktionsterm umschreiben und eine andere Kette bekommen, und andere verschiedene Funktionen bekommen, die du miteinander verkettest. Und du kannst außerdem noch einen solchen Funktionsterm so umschreiben, dass es keine verkette Funktion mehr ist, zumindest nicht so, in der Schreibweise ist es dann keine verkettete Funktion mehr. Das ist alles möglich. Also viele Möglichkeiten, die sich aus einer einzigen Funktion ergeben. Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Ich hätte da eine Frage:
    In Ihrem Video heißt es x²-4 = (x-4)mal(x+4)
    Aber das ergäbe x²-16.
    Es müsste also x²-4 = (x-2)mal(x+2) heißen, oder?

    Von Hajog, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Perfekt hat mir Wircklich weiter geholfen ;-)

    Von Kevinkrak, vor mehr als 4 Jahren