Textversion des Videos

Transkript Vektoren kennenlernen – Spiegelungen

Hallo! Wir kennen viele Sachen aus der Elementargeometrie, die man auch mit Vektoren darstellen kann. Zum Beispiel Spiegelungen: Achsenspiegelungen, Punktspiegelungen, etc. Achsenspiegelungen hast du mal gemacht, als du klein warst. Ich zeig noch mal, was das ist, vielleicht hat der eine oder andere das vergessen. Ich male irgendein Dreieck hier hin. Das soll jetzt wirklich ein Irgendwie-Dreieck sein ohne weitere Eigenschaften. Und ich könnte dieses Dreieck an einer Achse spiegeln. Zum Beispiel hier an - ich mach das mal senkrecht zum Rand - da soll die Achse sein und daran möchte ich dieses Dreieck spiegeln. Ich hab hier schon eine Folie aufgelegt, warum? Weil man mit solchen Folien eben sehr gut sich noch mal ins Gedächtnis zurückrufen kann, was es bedeutet, Achsenspiegelungen durchzuführen. Ich mal das jetzt hier einfach einmal nach durch die Folie und kann dann hier an dieser Achse umklappen und bekomme also hier das neue Bild und auch das kann man mit Vektoren darstellen. Dazu müssten die natürlich jetzt hier einfach so rüber laufen diese Vektoren und die können dann die einzelnen Punkte dann abbilden. Du kannst dir ja Gedanken machen: Woher weiß man, wie lang diese Vektoren sind? Haben die noch irgendwelche Eigenschaften? Zum Beispiel: Sind die alle parallel oder nicht? Wenn ja, wenn sie parallel sind, müssen sie parallel sein? Warum sind sie parallel? Und ich könnte z. B. hier noch einmal eine Spiegelung ausführen hier an der nächsten Achse, wenn ich das will, und dann entsteht diese Figur und auch da kann man sich fragen: Was ist da eigentlich passiert? Hätte man das auch anders machen können, als zweimal zu spiegeln? Wo sind die Vektoren und welche Eigenschaften haben sie? Das kannst du ganz elementar dir aufmalen und z. B. mal nachmessen oder so. Das ist natürlich kein Beweis dieses Messen, aber es trägt dazu bei, dass du die Vektoren ganz einfach und ganz elementar kennenlernen kannst und dir ein bisschen vorstellen kannst, was damit so los ist. Die Frage erhebt sich hier natürlich auch wieder: Warum macht man solche Sachen mit Vektoren, wenn es doch anders einfacher geht? Naja, wenn du etwas auf deinem Computer siehst, z. B. und sich da etwas spiegelt oder sich da etwas dreht und so, dann sind das nicht wirklich kleine Menschen, die da in dem Bildschirm irgendwas machen. Naja, das wusstest du, also Spaß beiseite. Es sind Pixel. Einzelne Punkte, Farbpunkte, denen man sagen muss, was sie wann zu tun haben. Und die einzige Sprache, die diese Pixel verstehen, ist vektoriell. Sollte sich da irgendetwas drehen oder spiegeln in deinem Computer, dann hat sich einer hingesetzt und hat vektoriell den Punkten erzählt, was sie machen sollen. So mal ein bisschen folkloristisch erklärt. Aber das ist mit der Vektorrechnung passiert. Zum Beispiel alle Computerspiele, alle Animationsfilme werden ja nicht mehr einzeln gezeichnet, Blatt für Blatt, sondern sie werden im Computer erstellt und das passiert vektoriell. Nur mal so zum Thema: Wozu macht man das, und wo kann man das anwenden? Ich möchte noch eine weitere Sache zeigen. Nämlich Punktspiegelungen. Ich glaube das hast du in der 5. Klasse gemacht, wie gesagt, als du noch klein warst. Du hast aber etwas gemacht, was noch nicht so lange her ist. Nämlich die Punktsymmetrie, und zwar hatten wir die bei Funktionen. Dazu brauche ich noch einmal ein Koordinatensystem und eine punktsymmetrische Funktion, die z. B. so aussehen könnte. Das könnte irgendwie so eine Funktion sein 1,5×x3 oder so ähnlich. Wie war das mit der Punktspiegelung. Einmal kurz zur Wiederholung. Auch das kann man mit so einer Folie machen. Ich hab jetzt hier einfach mal so eine Klarsichtfolie genommen. Also wenn du hier eine Punktspiegelung machen willst am Koordinatenursprung, dann kannst du einfach diese Funktion hier nachmalen und das Koordinatensystem auch kurz andeuten, nämlich hier und hier und hier. Und dann kannst du das Ganze einfach drehen. Und zwar solange bis diese entsprechenden Andeutungen des Koordinatensystems wieder auf den entsprechenden Stellen sind und siehe da, wir haben wirklich eine punktsymmetrische Funktion, zumindest fast genau. Also in dem Rahmen, wie es mit den dicken Stiften möglich ist, denke ich, ist es sehr gut gelungen. Du kannst es auch wieder zurück spiegeln. Das ist die Punktsymmetrie und du kannst dir natürlich auch zwischendurch überlegen: Was passiert denn, wenn ich nur ein bisschen drehen will? Kann ich das dann vektoriell machen? Du kannst natürlich eine gesamte Punktspiegelung auch vektoriell machen, indem du jedem Punkt hier erzählst, wo er hin muss. Du kannst dir auch überlegen, wie lang der Pfeil sein muss, der jetzt z. B. von hier nach da führt oder der von hier nach da führt. Gehen die alle durch den Nullpunkt oder nicht? Und was passiert, wenn ich eben nur ein bisschen drehen will? Zum Beispiel nur bis hier. Welcher Punkt, da kannst du sehr sehen mit einer solchen Folie: Wo ist dieser Punkt, wenn ich z. B. mit 45° drehe? Vielleicht hätte man den vorher hier unten auch bezeichnen sollen, kein Problem und das müssten ungefähr 45° gewesen sein. Dann kannst du hier den Vektor finden und dann kannst du dir vielleicht auch überlegen: Wo sind die anderen Vektoren? Wie sehen die alle aus? Haben die alle die gleiche Richtung? Und ruhig mal ein bisschen damit herumexperimentieren. Das funktioniert übrigens auch mit irgendwelchen Dreiecken oder mit irgendwelchen anderen Figuren, die an einem Punkt gespiegelt werden. Hier ist wieder irgendein Dreieck und wir nehmen mal einen Punkt, hier, an dem dieses Dreieck gespiegelt werden soll. Wenn man jetzt an diesem Punkt spiegeln will, dann kann man sich auch hier so zwei Hilfslinien dazu malen, die jetzt hier mit dem Punkt eine Gerade bilden. Das Dreieck kann man abmalen und diese Hilfslinien auch, diesen Punkt. Dann dreh ich einfach um diesen Punkt, z. B. um 180°, und erhalte das gespiegelte Objekt und kann mir jetzt auch vorstellen, wo der Vektor hinmuss, der diesen Punkt auf diesen Punkt abbildet. Ich hoffe, wenn du das dann zeichnest, erinnert dich das an zentrische Streckungen. Hast du mal in der 9. Klasse oder so gemacht. Das heißt also wir haben hier in der Vektorrechnung die gesamte Elementargeometrie in den Vektoren selber versammelt und brauchen nur noch ein theoretisches Konzept um das Ganze hier auszuführen und dann zum Beispiel auch auf Computer zu bringen und dort schöne Sachen machen zu können. Viel Spaß damit. Tschüss.

Informationen zum Video
5 Kommentare
  1. Img 2276

    Danke.:)

    Von Mira M., vor 5 Monaten
  2. Default

    Eine Beispielaufgabe wäre wirklich sehr wichtig! Gibt es die schon?

    Von Stephanie♥, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    vektorielle ****

    Von Yasmine A., vor mehr als 3 Jahren
  4. Flyer wabnik

    Danke, Dude! Die Beispielaufgabe kommt noch...

    Von Martin Wabnik, vor fast 7 Jahren
  5. Ich

    Hey Martin, finds super das du in dem Video auch mal sgast wozu man das ganze brauch. Mir macht es so eine Information immer leichter mit dem Stoff umzugehen. Es erscheint alles nicht mehr ganz so abstrakt. ALso Daumen hoch dafür. Hatte aber als ich das Video angekilckt habe gehofft, dass du so eine Vektor Spiegelung an einer Beispielaufgabe mal vorrechnest. Vielleicht kommt das noch :)
    Gruß vom Dude

    Von Der Dude, vor fast 7 Jahren