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Transkript Vektoren kennenlernen – Punkte abbilden

Hallo. Nachdem wir nun wissen, was Vektoren sind, können wir uns mal überlegen, was diese Vektoren denn alles so können. Zum Beispiel können diese Vektoren Punkte verschieben. Dieser Punkt ist jetzt hier und jetzt ist der Punkt, durch diesen Vektor, wird der jetzt verschoben, und jetzt ist er da. Das ist eine Verschiebung oder eine Abbildung, wie man so sagt. Der Vektor hat den Punkt abgebildet und das kann der gleiche Vektor beziehungsweise, nein das wollte ich ja nicht sagen, das ist derselbe Vektor, nicht nur der gleiche Vektor, derselbe Vektor gleicht sich zwar aber auch, aber es ist derselbe Vektor, der sich jetzt hier befindet, an einem anderen Ort und macht mit diesem Punkt, der sich natürlich auch an einen anderen Ort befindet dieselbe Bewegung, die er gerade auch schon gemacht hat und derselbe Vektor macht dieselbe Bewegung an verschiedenen Orten 2-mal. Und das kannst du dir auch vernünftig aufmalen alles, zum Beispiel kannst du dir einfach mal vorstellen, was würde denn passieren, wenn  du hier einen Punkt hast, da zum Beispiel, und möchtest diesen Punkt abbilden, vielleicht durch einen Vektor, das ist aber ein bisschen langweilig. Du kannst zum Beispiel 4 Vektoren nehmen, die alle gleich groß sind, aber verschiedene Richtungen haben und die jetzt auf diesen Punkt hier anwenden, so zum Beispiel, und dann mal gucken was da passiert und rein zufällig habe ich das jetzt Mal so hingelegt, ja irgendwie verführt das dazu, wenn man das so auffächert. Das jetzt hier, die Winkel zwischen den Vektoren, die 3 Winkel sind gleich, oder ziemlich gleich zumindest. Hier gibt es dann, also dieser Punkt wird durch diesen Vektor nach dahin abgebildet, dieser Punkt, derselbe Punkt wird durch einen anderen Vektor gleicher Länge hierhin abgebildet und so weiter, das Ganze eben 4-mal. Und dann kann man einfach mal gucken, was denn da raus kommt, wenn man jetzt diese 4 Bildpunkte miteinander verbindet. Und ich würde sagen das sieht so aus wie ein symmetrisches Trapez. Habe ich nicht ganz genau gezeichnet, ist jetzt hier auch nicht nötig. Ein symmetrisches Trapez, ein Trapez muss nicht symmetrisch sein, du kannst dich vielleicht noch daran erinnern, wie ist denn so eine Trapez überhaupt definiert. Na ja, es ist ein Viereck mit 2 parallelen Seiten. Und das Gleiche kannst du noch an einen weiteren Punkt machen und mal gucken was passiert, wenn du jetzt diese 4 Vektoren hier, gleiche Länge, verschiedene Richtung mal anders anordnest, zum Beispiel könntest du sie auch so anordnen. Jetzt haben sie auch gleiche Winkel, oder so vielleicht. Die Winkel zwischen denen sind jetzt auch gleich und es entsteht ein Quadrat. Ich glaub das muss ich nicht zeichnen, das kannst du so sehen, dass, wenn ich jetzt diese Endpunkte verbinde, dass es dann ein Quadrat ist. Frage nebenbei, ist dieses Quadrat auch ein Trapez? Ja, denn auch ein Quadrat hat 2 parallele Seiten. Es hat auch 2 Paare parallele Seiten, aber es ist ja immer so gemeint, dass die Bedingung mindestens gelten soll. Also wenn 2 Paare paralleler Seiten existieren, dann sind auch 2 Seiten parallel. Ja, das ist so ein bisschen Wiederholung aus der Elementarmathematik, aus der Unterstufe. Du kannst dir auch überlegen was passiert, wenn nur die gegenüberliegenden Winkel gleich sind, jeweils, das muss nicht sein du kannst sie dir zum Beispiel auch so hinpacken, dann entsteht einfach irgendein beliebiges Viereck, aber, wenn jetzt diese, oder man kann auch sagen, wenn jeweils 2 dieser Vektoren einen 180°-Winkel bilden, ja wie kann man sich das vorstellen, wie so 2 Strecken eigentlich, die man verschieben kann, dann hat man hier Scheitelwinkel und die sind dann gleich groß, was entsteht dann? Na ja, es ist dann wohl ein Rechteck. Vielleicht kannst du beweisen, dass es ein Rechteck ist. Du kannst das auch mit mehr Vektoren machen oder mit weniger, diesen Punkt der abgebildet wurde mit hinzunehmen bei dem, was du dann zeichnest hinterher. Wichtig ist, dass du dir vorstellen kannst, dass halt Vektoren Punkte abbilden und durch dieses Abbilden von Punkten entstehen Figuren, geometrische Figuren, die du alle schon mal behandelt hast. Und so kannst du dir eben als zusätzliche Dimension für das was du vorher kanntest, als du einfach nur so platt auf die Figuren drauf geguckt hast, kannst du dir jetzt vorstellen, wie könnten solche Figuren durch Verschieben von Punkten, durch Abbilden von Punkten, entstanden sein. Was auch möglich ist, du kannst einen Punkt mehrfach abbilden mit demselben Vektor und dir dann vielleicht mal einen anderen Vektor dazunehmen und diesen Punkt noch mal abbilden. Und ich glaube, es ist ganz gut sichtbar, was dann entsteht, ja, wenn du diese Zwischenräume hier verbindest, jeweils, dann kriegst du ähnliche Dreiecke, dann bekommst du eine typische Strahlensatzfigur. Vielleicht lassen sich Strahlensätze auch vektoriell begründen, schon in diesem Stadium. Probier es einfach aus, das ist der Sinn der Sache, dass du Vektoren einfach ein bisschen kennen lernst und dich damit wohlfühlen kannst. Viel Spaß damit. Tschüss

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1 Kommentar
  1. Img 20141213 185508

    Danke.. gute Prüfung wegen dir geschrieben ...

    Von Paul T., vor mehr als 4 Jahren