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Transkript Vektoren – eingeschlossene Winkel

Was sind eigentlich Länge und Winkel von Vektoren? Betrachten wir einen beliebigen Vektor a^-> in der Ebene. Unser Vektor a^-> habe die Komponenten a1 und a2. Für die Länge von a^->, den sogenannten Betrag des Vektors a^-> nutzen wir unsere Kenntnisse des Satzes von Pythagoras. Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck unter unseren Vektor und dann wissen wir, das a12+a22=|a^->|. Nun noch die Wurzel ziehen und wir kennen unsere Länge des Vektors a^->. Mal schauen, ob das im Raum genauso einfach geht. Wir betrachten einen Vektor im Raum a^-> mit den Komponenten a1, a2 und a3 und der soll uns jetzt mal angucken. Das heißt, wir zeichnen einen Winkel darunter und haben nun ein Dreieck mit unserem Vektor a^-> als Seite und a3 und b als andere Seiten. Wir wissen mit Pythagoras wieder, dass die |a^->|^2=a32+b2. Und wir erhalten die Länge des Vektors |a^->|=\sqrt(a32+b2). Was ist nun aber dieses ominöse b2? Dazu zeichnen wir in der x-y-Ebene ein weiteres rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a2 und a1 und der Hypotenuse b und wir wenden nochmals Pythagoras an und wissen, dass dann b2=a12+a22, und wir erhalten |a^->|=\sqrt(a32+a22+a12). Das heißt noch einmal zusammengefasst: Der Betrag eines Vektors ist die Summe der Komponentenquadrate und daraus die Wurzel. Kommen wir zu einigen Beispielen. Wollen wir zunächst den Betrag eines Vektors a^-> berechnen. Dazu geben wir uns den Vektor a^->, der hat die Komponenten 4 und -3, der Betrag ist also \sqrt(42+(-3)2), das macht \sqrt(16+9)=5. Unser nächstes Beispiel ist der Vektor b^->=(½, -½, -1/\sqrt(2)). Dann berechnen wir seinen Betrag durch \sqrt(½2+(-½)2+(-1/\srt(2))2)= \sqrt(¼+¼+½)=\sqrt(1)=1. Mithilfe des Skalarprodukts haben wir eine weitere Möglichkeit, den Betrag eines Vektors zu berechnen. Wir wissen, das Skalarprodukt von zwei Vektoren a^-> und b^-> ist das Produkt der Längen der beiden Vektoren mal dem Kosinus des Winkels zwischen beiden Vektoren. Also folgt, der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist gleich das Skalarprodukt der beiden Vektoren dividiert durch das Produkt der Längen der beiden Vektoren. Nimmt man für a^-> und b^-> den gleichen Vektor, dann erhalten wir, dass der Winkel zwischen beiden 0 ist, also der Kosinus 1. Wir sehen eine weitere Möglichkeit, den Betrag zu berechnen, nämlich der Wurzel aus den Skalarprodukten. Dazu jetzt ein Beispiel: Der Vektor a^-> =(1, 2), der Vektor b^->=(2,1). Wir sehen, dass beide Vektoren die Länge \sqrt(5) haben. Nun berechnen wir deren Skalarprodukt, das ist dann 4, 1×2 und 2×1, erhalten wir als Winkel, Skalarprodukt durch Produkt der beiden Längen, das ist 4 durch 5. Also ergibt das etwa einen Winkel von 36,8°. 2 Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wir sagen, sie sind orthogonal zueinander, wenn deren Winkel 90° ist, das heißt, falls der Kosinus des Winkels gleich 0 ist. Nach der Formel, die wir bis jetzt gesehen haben, wissen wir also, wenn das Skalarprodukt zwischen beiden 0 ist und dazu keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist. Betrachten wir nun ein anderes Problem. Wir haben nun im Raum zwei Vektoren gegeben, das sind die Vektoren a^-> und b^->, wir suchen einen Vektor c^->, der orthogonal auf beiden steht. Also suchen wir einen Vektor c^->, sodass das Skalarprodukt von a^-> und c^-> und das Skalarprodukt von b^-> und c^-> gleich 0 ist. Hier also ein Beispiel: Wir betrachten den Vektor a^->=(1,2,1) und den Vektor b^->=(3,-1,2). Wir suchen einen Vektor c^->=(x,y,z), sodass a^-> und c^-> gleich 0 ist und das Skalarprodukt von b^-> und c^-> gleich 0 ist. Also, (1,2,1)×(x,y,z) soll gleich 0 sein, das heißt x+2y+z soll gleich 0 sein. Dasselbe machen wir für den Vektor b^->, der soll mit c^-> skalar auch 0 sein, das heißt (3,-1,2)×(x,y,z) soll gleich 0 sein, das heißt 3x-y+2z soll =0 sein. Schreiben wir uns das Gleichungssystem einmal hin: x+2y+z=0, 2. Gleichung: 3x-y+2z soll gleich 0 sein. Also lösen wir dieses Gleichungssystem auf. Wir erhalten: -7y-z=0, so betrachten wir weiter und wir erhalten für y=1, das z=-7 sein muss und daraus x=5, also für unseren Vektor c^->=(5,1,-7). Und dann machen wir noch einmal den Test a^-> skalar mit c^-> ergibt 5+2+(-7)=0. b^-> skalar mit c^-> multipliziert ergibt 3×5+(-1)×1+2×(-7)=0. Wir erhalten das, was wir haben wollten. a^-> steht orthogonal auf c^-> und b^-> steht orthogonal auf c^->, das wollten wir haben.

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5 Kommentare
  1. Default

    Müsste man am Anfang( bezogen auf die Herleitung des Betrags) nicht auch die Länge der Vektoren a1 bzw a2, also deren Beträge nehmen ?
    Ich weiß, dass es nicht so ist..aber warum ?

    Von Janmoe, vor mehr als 3 Jahren
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    Wie kommt man bei 4/5 auf ca. 36 Grad ??

    Von Lola93, vor etwa 4 Jahren
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    viel zu schnell am ende....

    Von Friedel Gastro, vor etwa 4 Jahren
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    Mir hätte die Herleitung für die Formel der Winkel und die bildliche Begründung noch weitergeholfen!

    Von Wiemke Heitkötter, vor mehr als 4 Jahren
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    bei mir kommt für y=0 heraus o_O 5:37

    Von Alex Star96, vor mehr als 4 Jahren