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Transkript Vektoren addieren – Von Punkten zu Vektoren

Hallo! Ich möchte Mal eine Aufgabe zeigen ganz ohne Anschauung, und zwar gilt Folgendes: Wir haben 4 Punkte gegeben und sollen daraus jetzt, aus diesen 4 Punkten ausrechnen wie Vektor BC - Vektor DA lautet. Und ich möchte das deshalb ganz ohne Anschauung machen, na ja, weil die Vektorrechnung eben auch so funktioniert. Das ist auch Sinn der Sache, dass man eben Dinge ausrechnen kann, die man sich nicht unbedingt vorstellen muss. Nebenbei bemerkt wäre es doch recht mühsam, sich diese Punkte erst mal alle hier so im dreidimensionalen Koordinatensystem vorzustellen. Dann sich vorzustellen, was jetzt BC ist, ja, das geht auch noch und dann das abziehen und dann wo der Vektor hingeht und alles. Das kann man auch zumindest einfach hier auf dem Papier machen und das zeige ich jetzt Mal. Also, wir fangen an mit dem Vektor BC. Was ist der Vektor BC, wenn wir die Punkte B und C gegeben haben? Wir wissen schon, um den Vektor zu erhalten, der von B zu C führt, müssen wir den Ortsvektor von C - den Ortsvektor von B rechnen. Der Ortsvektor von C hat die Koordinaten, die der Punkt C hat. Der Ortsvektor ist der Vektor, der vom Nullpunkt zu diesem Punkt hinführt. Der Ortsvektor von B, den wir jetzt hier abziehen, der hat die Koordinaten des Punktes B, weil es ja der Vektor ist, der vom Nullpunkt zu B hinführt. Wenn wir die jetzt also hier voneinander abziehen, müssen wir das koordinatenweise machen. Das ist also 4 - (-3), das ist im Ganzen 7; 8 - 4 = 4 und -1 - 1 ist zusammen -2 und der Vektor BC ist jetzt also (7,4,-2). Nun, du siehst, diese Rechnungen hier, das ist also fast Grundschulniveau. Das bleibt aber auch so, immer, wenn man mit so einzelnen Vektoren hier rumrechnet. Das sind eigentlich immer sehr einfache Rechnungen. Zumindest sind die Aufgaben so gestellt, dass diese Rechnungen meistens doch ziemlich einfach sind. Kommen wir zum Vektor -DA. Ja, ich könnte auch den Vektor DA ausrechnen und dann hinterher den Vektor von BC abziehen. Das heißt, mit dem Gegenvektor addieren. Also BC + der Gegenvektor zu DA, also + (-DA). Ich kann mir aber auch gleich Gedanken darüber machen, wie sieht denn -DA aus. Ich weiß also, dass der Vektor DA der Vektor ist, der von D zu A führt. Der Vektor -DA ist der Vektor in der Gegenrichtung. Das heißt, der führt von A zu D. Wir hatten auch schon besprochen, dass der Vektor, der von A zu D führt, so ausgerechnet werden kann, dass man den Ortsvektor von D - den Ortsvektor von A ausrechnet. Und das werde ich jetzt auch Mal machen. Das heißt, ich nehme also den Ortsvektor von D oder der Ortsvektor des Punktes D im besseren Deutsch gesagt. Das ist der Vektor, der die gleichen Koordinaten hat wie D, nämlich (0,1,9). Und von dem darf ich jetzt abziehen den Ortsvektor des Punktes A, der die gleichen Koordinaten hat wie A, nämlich (-2,1,0). Wenn die beiden nun abgezogen werden, muss man das koordinatenweise machen. Wir rechnen also 0 - (-2), ja, - (-2) da ist es, das ist 2; 1 - 1 = 0 und 9 - 0 = 9. So, und jetzt habe ich also hier diese beiden Vektoren stehen und die beiden muss ich jetzt noch addieren. Ich muss sie nicht subtrahieren, weil ja da schon der Vektor -DA steht und -DA muss ich eben nur noch zu BC hinzufügen. Das heißt, ich bekomme jetzt folgende Situation hier: BC - DA = (7,4,-2) + (2,0,9) = 7 + 2 = 9; 4 + 0 = 4 und (-2) + 9 = 7. Damit haben wir, dass der Vektor BC - DA = (9,4,7) ist. Und das Ganze, ohne sich irgendwas hier genauer vorzustellen. Reine Rechnung, auch das funktioniert, auch dafür ist die Vektorrechnung da. Viel Spaß damit! Tschüss!    

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3 Kommentare
  1. Default

    Wieso fangen sie bei der Berechnung von dem Vektor BC mit C an und bei DA mit D ?
    Das macht doch einen Unterschied ?! Sollte man nicht immer von dem Selben Punkt starten ?

    Von Carojochumriempp, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    OHG mein Denkfehler Sorry :D

    Von Virginiadudek, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Kleiner Fehler : 9- 0 ist nicht 9 sondern Minus 9

    Von Virginiadudek, vor mehr als 3 Jahren