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Transkript Vektoren addieren – Kantenmodelle

Hallo, für diese Aufgabe habe ich mal ein bisschen was zum Spielen mitgebracht. Es geht um Folgendes: Wir haben hier Kantenmodelle von geometrischen Körpern und möchten Strecken in diesen Kantenmodellen, das heißt Kanten, die wir sehen oder irgendwelche Diagonalen, die sich hier befinden könnten, ersetzen durch diese Vektoren, die gegeben sind. Ja, hier ist das natürlich so gemeint, dass nicht nur dieser kleine Pfeil gegeben ist, sondern der Vektor, der von diesem Punkt zu diesem Punkt hinführt. Hier ist der Vektor gemeint, der von dem unteren Punkt zu diesem oberen Punkt hinführt. Ich hab das nur jetzt mal so salopp mit diesen Pfeilen dargestellt. Wenn wir jetzt zum Beispiel hier eine Diagonale darstellen möchten, durch gegebene Vektoren, das ist die Diagonale dieser Seitenfläche hier, dann können wir das machen, und zwar indem wir von hier aus diesen pinkfarbenen Vektor entlang gehen und dann diesen anderen Vektor, den hier, rückwärts entlang gehen. Wir rechnen quasi dieser Vektor minus dieser hier. Die sind übrigens nicht gleich groß, die haben jetzt zwar gleiche Farben, das soll aber nicht heißen, dass die gleich groß sind. Ja, dieser Vektor minus der hier, das würde dann diese Diagonale ergeben. Und zwar diese Diagonale in dieser angezeigten Richtung hier. Wenn wir aber eine andere Diagonale haben wollen, wie zum Beispiel diese hier - ja, fällt wahrscheinlich alles um - diese, dann kriegen wir das nicht hin. Oder auch zum Beispiel diese Raumdiagonale, die einmal so quer durch den Würfel durchgeht, die werden wir mit den Vektoren, die wir hier haben, nicht hinkriegen, und zwar einfach deshalb, weil diese Vektoren, und das ist eine wichtige Sache, die oft in der Vektorrechnung vorkommt und die es da zu bemerken gilt, diese drei Vektoren, die wir hier haben, die liegen in einer Ebene. Und wenn wir die jetzt aneinander packen, irgendwie addieren und sowas, dann kriegen wir nur Vektoren, die sich auch in dieser Ebene befinden. Oder in dieser hier, je nachdem, wie man es sehen will. Wir kommen aus dieser Ebene nicht raus, egal, was wir mit den Vektoren hier anstellen. Erst, wenn einer der Vektoren zum Beispiel hier auch diese dritte Dimension abdeckt, so zum Beispiel, dann können wir beliebige Strecken oder beliebige Abbildungen von Punkten darstellen. Zum Beispiel nehme ich jetzt mal hier diese Raumdiagonale. Ich möchte von dem Punkt zu dem Punkt gehen, also Raumdiagonale mit Richtung, das bedeutet, ich kann einfach diesen gegebenen Vektor hier rückwärts entlanglaufen, den auch rückwärts entlanglaufen und den oben hier, diesen Vektor, den setze ich hier dran und erhalte dann meinen Weg von diesem Punkt zu diesem Punkt da unten. Ja ich hoffe, man kann das alles gut sehen. Aber ich glaube du weißt, was ich meine. Es geht um die Idee, dass du dreidimensional, zum Beispiel in solchen Kantenmodellen, sehen kannst, wo muss ich welche Vektoren kombinieren, um von einem Punkt zum anderen zu kommen. Das Gleiche gilt natürlich auch für solche Pyramiden, das ist eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche. Und auch hier habe ich die drei gegebenen Vektoren mal so angeordnet, wie es nicht funktioniert. Wenn ich jetzt zum Beispiel diese Diagonale der Grundfläche darstellen möchte durch die gegebenen Vektoren, dann funktioniert das nicht. Und zwar deshalb: Egal, was ich mit diesen drei Vektoren hier anstelle, sie werden sich immer in dieser Ebene befinden. Das heißt egal, wie ich sie addiere, sie werden sich in dieser Ebene befinden und diese Diagonale der Grundfläche, die ist ja nicht in dieser Ebene drin und deshalb kann ich diese Diagonale nicht durch eine Addition dieser Vektoren hier ersetzen. Also, wie muss ich das machen, damit das vielleicht doch geht? Ich setze mal einfach den Vektor hier hin. Diese Vektoren sind zwar gleich lang, dieser  ist nicht so lang wie diese hier, oder in dem Fall stimmt es, aber die gleichen Farben sollen jetzt keine weitere Bedeutung haben. Ich möchte nun Folgendes machen. Ich möchte einmal diese Diagonale hier durch diese gegebenen Vektoren darstellen. Ja, wie ist das möglich? Ich möchte nicht nur die Diagonale darstellen übrigens, sondern die Abbildung von dem Punkt zu dem hin. Und das kann ich so machen, indem ich mir hier entlang dieser Vektoren einen Weg suche, der zwar ein Umweg ist, aber letzten Endes doch von diesem Punkt zu diesem Punkt hinführt. Und ich glaube, so kann man es halbwegs sehen. Ich gehe von hier los, gehe den Vektor hier entlang, gehe da wieder den Vektor rückwärts entlang und den auch noch mal rückwärts entlang. Ich muss also rechnen der Vektor minus der Vektor minus der Vektor, das ist dann hier diese gesuchte Diagonale. Und um die Schwierigkeit noch einmal ein kleines bisschen zu erhöhen: Ich möchte jetzt diese Diagonale haben, diese andere und die Frage ist, wie kann ich das machen? Nun, ich müsste also von diesem Punkt aus hier losgehen und irgendwie da hinkommen. Und da ergibt sich die Frage, wie kann ich das schaffen, wenn ich von diesem Punkt zu dem möchte? Wenn an dem Punkt angelangt bin, dann kann ich diesen Vektor hier einfach entlanggehen zu dem Punkt. Und die Frage ist, wie komme ich von hier nach da? Da ist es vor Schreck umgefallen, macht nichts. Und was mache ich so, indem ich mir vorstelle, dass ich ja durch diese gegebenen Vektoren hier, durch diese beiden, kann ich ja das hier darstellen, diesen grünen Vektor, der von dem Punkt zu dem führt. Also der grüne Vektor ist länger als er wirklich anzeigt, er geht von dem Punkt zu dem. Und diesen Vektor, ja den erhalte ich, indem ich hier den Vektor rückwärts gehe und den auch wieder rückwärts. Das geht ja, ich rechne minus dieser Vektor minus der hier und dann krieg ich den von da nach da. Und den kann ich jetzt hier dransetzen, was mir dann hier meine Diagonale ergibt. Ich gehe einfach von hier aus los, den grünen Vektor rückwärts, den pinken Vektor hier entlang und bin letzten Endes von da nach da gekommen und so kann ich also durch diese drei gegebenen Vektoren diese Diagonale der Grundfläche ersetzen. Ja, ich hoffe das ist alles gut sichtbar, ansonsten wie gesagt, nimm dir ein bisschen Knetwachs, bau dir selber Modelle und probier das aus. Das hilft ungemein sich das Ganze vorzustellen. Darum geht es letzten Endes. Deshalb hab ich hier das auch alles ohne Zahlen vorgemacht, ohne weitere Bezeichnungen, es geht nur da darum, dass du dir vorstellen kannst, wie muss ich was in solchen dreidimensionalen Objekten kombinieren, um von einem Punkt zum anderen zu kommen. Dann kannst du dir selber überlegen, da sage ich nichts weiter zu, was wäre zum Beispiel mit einem solchen Tetraeder. Wie viele Kanten brauche ich, muss ich gegeben haben, damit ich alle anderen Kanten und Strecken, die sich hier so ergeben könnten oder vernünftigerweise ergeben könnten, darstellen kann? Ein Tetraeder übrigens ist eine Pyramide, die lauter gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen hat und als Grundfläche auch. Alles gleichseitige Dreiecke, alle gleich groß. Das ist übrigens auch eine Pyramide, das ist eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche, aber es ist kein Tetraeder, weil diese Seiten hier, zum Beispiel diese Seite ist kein gleichseitiges Dreieck. Es ist vielmehr ein rechtwinkliges Dreieck, dann kann es nicht gleichseitig sein. Das übrigens auch, ist ein rechtwinkliges Dreieck. Und die Frage ist jetzt: Wie viele Kanten, also Vektorkanten - sage ich mal salopp jetzt - brauchst du oder musst du hier gegeben haben, damit du alle weiteren Kanten und sonstigen Strecken, die sich hier vernünftigerweise ergeben, darstellen kannst? Und die Frage, die sich daraus dann ergibt, wenn du das gelöst hast: Sind das hier und hier gleich viele Kanten, die man gegeben haben muss, um alle weiteren darstellen zu können? Viel Spaß damit, tschüss!

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