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Transkript Vektoren addieren – Abbildungen und Ortsvektoren

Hallo, und hier habe ich mal eine klitzekleine Aufgabenstellung vorbereitet. Die Aufgabe geht so: Wir haben drei Punkte gegeben A, B und C. Die lese ich jetzt nicht vor. Dann haben wir weiter gegeben, dass der Vektor a wird dadurch definiert, dass der Punkt A auf dem Punkt C abgebildet wird, eben durch diesen Vektor klein a. Klein b hier, wird so definiert, dass durch diesen Vektor der Punkt C auf den Punkt B abgebildet wird. Frage 1 ist nun, auf welchen Punkt wird B abgebildet, wenn zur Abbildung der Vektor b - a benutzt wird?  Und zweite Frage ist der Ortsvektor. Welchen Punktes ist der Vektor b - a?  Nun das sind vielleicht ein bisschen viele Informationen auf einmal, aber mein Vorschlag, mach den Film aus, mach Dir Gedanken, dann wirst Du feststellen, das ist alles heiße Luft, was hier steht. Da ist fast nichts zu tun, bzw. nichts Schwieriges. Es geht nur darum, dass Du mit solchen Ausdrücken lernst, umzugehen und das hinterher weißt, mehr ist es nicht. Also, ich zeig jetzt die Lösung. Die Sache ist so. Wenn der Vektor klein a, er wird dadurch definiert, dass er den Punkt A und auf den Punkt C abbildet. Da können wir das auch schreiben als A zu C, a = AC. Und um den Vektor AC zu erhalten, müssen wir den Ortsvektor von C - den Ortsvektor von A rechnen. Der Ortsvektor von C ist (-3, -4, 2). Der Ortsvektor von C hat nämlich dieselben Koordinaten, also dieselben Einträge wie hier Koordinaten sind. Also man muss die Zahlen nur abschreiben. Punkt C, sagt man auch Ortsvektor des Punktes C - Ortsvektor des Punktes A. Der Ortsvektor des Punktes A hat (-2, 1, 0). Und wenn ich das beides jetzt abziehe, habe ich hier -3--2 = -1, -4 -1 = -5 und 2 - 0 = 2. Damit haben wir den Vektor klein a bzw. AC. Den Vektor b bestimmt man genauso. Der ist definiert dadurch, dass er den Punkt C auf Punkt B abbildet. Damit ist es der Vektor CB. Den Vektor CB erhalten wir, indem wir den Ortsvektor des Punktes B, der die Koordinaten (5, -4, 1) hat und ziehen davon den Ortsvektor von C ab, nämlich (-3, -4, 2). Und erhalten 5 --3 = 8, -4 - -4 = 0, 1 - 2 = -1. Aus diesem Vektor hier b, bzw. CB, müssen wir noch mit Hilfe des Vektors a die Differenz b-a bilden. Das kann ich dann einfach so schreiben, b - a  = (8, 0, -1) - (1, -5, 2). Es kommt Folgendes raus: 8 --1 = 9, 0 --5 = 5, -1 - 2 = -3. Es ist alles sehr elementar nachzuvollziehen, sage ich mal. So, wenn wir jetzt wissen wollen, auf welchen Punkt wird B vermöge des Vektors b-a abgebildet. Also der Punkt B, an dem soll jetzt der Vektor b-a angesetzt werden. Das bedeutet also, wir nehmen den Ortsvektor von B. Der Ortsvektor von B steht hier, wir haben ja gerechnet b - c, quasi.  Also der Ortsvektor von b ist (5, -4, 1) und an den wird jetzt drangesetzt der Vektor b - a,  also dazu addiert, also (9, 5, -3). Und heraus kommt Folgendes, 5 + 9 = 14, -4 + 5 = 1, 1 +-3 = -2. So jetzt hoffe ich, dass ich mich  nirgends verrechnet habe, ansonsten, das Prinzip ist klar. Wenn Du solche Rechenoperationen machst, und viele davon, kann es immer mal vorkommen, dass man sich verrechnet. Also, wenn Du so was in der Klausur hast, ist das nicht weiter schlimm, da gibt es einen kleinen Punktabzug für. Solange das System stimmt, ist das soweit in Ordnung. Also damit haben wir jetzt die erste Frage beantwortet. Auf welchen Punkt wird der Punkt B abgebildet, und zwar durch den Vektor b-a. Es ist der Punkt (14, 1, -2). Frage ist nun weiter, Ortsvektor welchen Punktes ist der Vektor BA. Nun, der Vektor b-a hat die Koordinaten (9, 5, -3) und das sind auch die Koordinaten des Ortsvektors. Der Punkt BA hat also die Koordinaten (9, 5, -3). Und damit ist aus der komisch formulierten Frage Ortsvektor welchen Punktes ist der Vektor b - a einfach die Sache geworden, dass man hier diese Zahlen hier abschreiben muss. Ja, das ist häufig in der Vektorrechnung so. Große Frage, kleine Antwort. Viel Spaß damit. Tschüss.  

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Jonathan Stitz:
    1. Das kommt von der Addition von Vektoren. Stell dir zwei Punkte A und B in einem dreidimensionalen Koordinatensystem (im Raum) vor. Verbinde jetzt den Ursprung (O=Orrigin (engl.))und den Punkt A mit einem Vektorpfeil. Dieser ist der Ortsvektor von A. Dann verbinde A und B mit einem Vektorpfeil. Diesen nennt man den Vebindungsvektor. Und verbinde schließlich den Urpsung mit dem Punkt B mit einem Ortsvektor. Es gilt also nach der Addition von Vektoren:
    OA + AB = OB
    Du kannst dir die Addition wie "Laufen" im Raum vorstellen. Wenn du vom Ursprung nach B laufen möchtest, kannst du erst vom Ursprung nach A und dann von A nach B laufen.
    Stellst du diese Gleichunge nach AB um, ergibt sich eben:
    AB = OB - OA
    Deswegen musst du den Orstvektor von B Minus den Ortsvektor von A rechnen. Wenn du also die Koordinaten von A und B besitzt, dann kannst du die Koordinaten von B Minus die Koordinaten von A rechnen.
    2. Mit dieser Info erledigt sich auch die Testaufgabe. Du musst die Koordinaten von Q Minus die Koordinaten von P rechnen. Rechne diese nochmal in Ruhe aus und achte auf die Vorzeichen. Minus Minus ergibt Plus.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Hallo,

    Vielen Dank für das Video, allerdings habe ich dazu 2 Fragen:
    1. Wie kann ich mir merken, welchen Vektor ich von welchen abziehen muss? Im Video ging es ja einmal um den AC Vektor, das ist ja in dem Sinne der Weg von A nach C. Wieso wird es aber umgedreht gerechnet?

    und 2. kann es sein, dass es bei der Lösung der Kontrolfrage einen Vorzeichenfehler gab? Ich habe 15,1,8 raus, Die Lösung zeigt allerdings 15,-1,-8 oder habe ich mich vertan?

    Von Jonathan Stitz, vor fast 3 Jahren