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Transkript Vektoraddition – Vereinfachungen (1)

Hallo, manchmal kann man die Vektoraddition vereinfachen, genauer gesagt, eine solche Summe in einfacher Weise hinschreiben. Das geht bei diesen Beispielen, bei anderen geht das nicht. Das hängt immer vom Einzelfall ab. Wir können die Summe AB^->+BC^-> bilden und uns mal angucken, was da grafisch passiert. Wir nehmen 3 Punkte, die sind hier irgendwo im Raum. Und, der erste AB^-> führt also von A zu B, und der 2  BC^-> führt von B zu C. Im Ganzen sind wir jetzt von A zu C hingekommen. Also können wir den Vektor quasi so einzeichnen. Das ist der Ergebnisvektor. Und der ist dann gleich AC^->. AC^-> ist hier das Ergebnis. Und, ja diese Schreibweise ist eben einfacher als diese. Deshalb heißt es vereinfachen. Wenn wir rechnen AB^->+BA^->, dann passiert folgendes: wir gehen erst von A zu B und dann setzten wir den BA^-> dran, der führt ja von B zu A. Und dann sind wir beim Ausgangspunkt wieder angekommen. Haben uns effektiv also gar nicht bewegt. Und das Ergebnis ist ja 0^->. Und dafür übrigens nicht 0 schreiben, weil es ja der 0^-> ist, der da rauskommt. Und das ist schon was anderes, weil der 0^-> ein anderes Ding ist als die 0. Was ist bei AB^->+CA^->. Wir können uns folgendes vorstellen, wir gehen erst von A zu B. Ja, der soll vielleicht mal wieder weg hier. Ich mache das jetzt ordentlich mit dem Tuch. So, wir gehen von A zu B, und dann von C zu A. Und da hat eben diese Vorstellung mit dem Gehen von einem Punkt zum anderen ihre Grenzen. Das ist ja nur eine Veranschaulichung und nicht die tatsächliche Vektoraddition, denn wir könnten ja sagen, wenn wir von A zu B gehen, dann können wir nicht von C zu A gehen, denn bei C sind wir ja nicht. Man kann das aber so verstehen, dass man die Strecke CA an B dransetzt. Und das sieht dann ungefähr so aus: Jetzt muss ich gucken, dass ich das jetzt halbwegs auch hinkriege. Ja, das ist die Länge, das ist auch die Länge. Das müsste so ungefähr hinhauen. Also ich habe die Strecke CA an B, oder den Pfeil von C nach A, den CA^-> hab ich an B drangesetzt und komme dann hier hin. Und jetzt sieht man, dass der Ergebnisvektor von A zu diesem Punkt hier, die gleiche Richtung und die gleiche Länge hat, wie der CB^->. Damit ist CB^->, der Ergebnisvektor dieser Addition. Und jetzt könnte man vielleicht sagen, also wenn man sich das so vorstellen möchte, mit dem Entlanggehen, dass das hier jetzt nicht funktioniert. CB^-> kann nicht rauskommen, weil ich bei A losgegangen bin und bei C überhaupt nicht war. Und jetzt bin ich ja auch nicht im Endeffekt bei B, sondern ich bin ja hier und B ist da. Da funktioniert's halt wirklich nicht, sich das mit diesem Gehen vorzustellen. Ich möchte nur kurz erläutern, woran das liegt. Dass es hier nicht funktioniert, das liegt daran, dass ja Vektoren Bewegungen im Raum sind oder Verschiebungen, die also durch Länge und Richtung definiert sind. Und diese Pfeile sind Darstellungen von solchen Vektoren. Oder man sagt auch Repräsentanten. Also dieser Pfeil und dieser Pfeil, die stellen beide denselben Vektor dar, und dieser Pfeil auch. Wo die im Raum sind, ist ja völlig egal. Und so kann es also sein, dass dieser Pfeil hier, eben auch die gleiche Richtung und gleiche Länge hat, wie dieser Pfeil. Und damit gehören beide Pfeile zu demselben Vektor. Und deshalb können wir auch den Pfeil hier mit dem CB^-> bezeichnen. Ja, eine kleine Sache wollte ich noch zeigen dazu. Also, wir können uns CB^->-AB^-> vorstellen. Das macht man so, wir nehmen den Pfeil von C zu B und den Pfeil von A zu B. Aber, jetzt wird er ja abgezogen. Und wir haben schon geklärt, dass das Subtrahieren von Vektoren, das Addieren des Gegenvektors ist. D. h., wir müssen jetzt BA^-> addieren. Wenn wir BA^-> addieren, kommen wir im Endeffekt zu A. Und damit ist CA^-> der Ergebnisvektor. Dann haben wir das doch hier mit 3 Summanden. Wir nehmen erst, ja, die können mal wieder weg. Wir nehmen erst AB^->, dann müssen wir BC^-> abziehen, also den Gegenvektor CB^->. Dransetzten, CB^-> führt von hier nach da, das heißt, ich muss ihn jetzt hier an B dransetzten. CB^-> ist das. Jetzt nicht ganz korrekt, so ungefähr. Ja, CB^->. Und dann kommt BA^-> dazu, d. h., der Vektor von hier nach da, den muss ich jetzt aber hier dransetzten. So, das ist auch nicht ganz richtig. So, der kommt hier dran. Und dann ist hier unser Ergebnisvektor, der so aussieht. Und den kennen wir schon, der ist hier auch noch mal und der ist hier auch noch mal, d. h., es kommt hier der CB^-> heraus. Jetzt könnte man sich überlegen, hätte man hier auch anders vorgehen können, hätte man das auch einfacher haben können? Ja, hätte man. Wenn man nämlich diese beiden hier vertauscht hätte, dann hätte man da stehen gehabt: AB^->+BA^->. Und da wissen wir schon, das ist ja zusammen 0, hatten wir da schon. Und dann ziehen wir BC^-> ab, d. h., wir addieren den Gegenvektor CB^->. Ja, und wenn wir zu 0 CB^-> addieren, dann ist der Vektor CB^-> halt. Da das Ergebnis. Ja, und wo ich schon mal dabei bin, möchte ich mir diese Sache hier noch mal vornehmen. Auch da kann man was vertauschen und dann sieht man vielleicht etwas besser, wo der Hase lang läuft. Also, wir können AB^-> und CA^-> vertauschen also erst CA^-> nehmen und dann +AB^-> rechnen. Und da kann man halt feststellen, wenn man sich das wieder jetzt als laufen von Punkt zu Punkt vorstellt. Wenn wir erst von C zu A gehen und dann von A zu B, dann sind wir letzten Endes von C zu B gegangen. Und CB^-> ist dann eben auch der Ergebnisvektor. Ja, das war's so weit zur Vereinfachung der Vektoraddition. Viel Spaß damit, tschüss!

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