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Transkript Vektoraddition – Rechengesetze

Hallo, nach dem wir nun wissen, dass man Vektoren addieren kann, und übrigens auch subtrahieren kann, ergibt sich hier die Frage: Gibt es denn dazu Rechengesetze? Ja, es gibt sie und ich zeige sie jetzt. Wir haben einmal hier a+b. Das ist das Gleiche wie b+a. Und das kennst du schon aus der sonstigen Mathematik, hoffe ich zumindest. 2+3 ist das Gleiche wie 3+2. Das nennt sich Kommuntativgesetz und es gilt eben auch für Vektoren. Das möchte ich hier einmal zweidimensional zeigen. Deshalb, weil es so einfach ist, und weil es sich dreidimensional genauso übertragen lässt. Das heißt dieses Koordinatensystem, hier dreidimensional, hat jetzt einmal Pause. Angenommen das ist hier jetzt der Vektor a und das ist der Vektor b. b hier in Pink. Ja, das mach ich jetzt mal so hier, dann rutschen sie nicht weg. Dann ist der Ergebnisvektor a+b, der hier, der grüne. Das ist a+b. Wir können aber auch b nehmen, den hier, und dann a daran setzen, der hier, und erhalten dann also b+a hier. Und du siehst, die grünen Vektoren hier, die grünen Pfeile besser gesagt, haben die gleiche Richtung, die gleiche Länge und deshalb stellen beide Pfeile den selben Vektor dar. Das ist also hier richtig. Und im Dreidimensionalen sieht das dann so aus, dass du dir die einfach nur im Raum vorstellen musst. Zusammensetzen kannst du sie ganz genau so, wie ich das jetzt hier auf dem Papier gemacht habe. Dann gibt es ein weiteres Gesetz, also hier Kommuntativgesetz einmal, und dann haben wir noch das Assoziativgesetz. Das funktioniert folgendermaßen: Wir haben a+b und addieren zu diesem Ergebnis c hinzu. Dann kommen wir zum selben Vektor, wie bei folgender Operation. Wir rechnen a +  das Ergebnis von b+c. So und das möchte ich jetzt einmal zeigen. Da muss ich ein bisschen ausholen. Und zwar, wir nehmen einen Vektor a, der so verläuft zum Beispiel. Symbolisiert durch diesen Pfeil hier. Dann kommt ein Vektor b hinzu, der so aussieht und der Vektor c, schön lang, bis dahin. Das ist a und das ist c und in der Mitte befindet sich b. Das hier ist jetzt quasi ohne Klammern aufgemalt. Wenn ich erst die Klammer aufmale, also a+b, dann komme ich zu diesem Vektor, der jetzt zufälligerweise die gleiche Richtung hat wie c. Das war jetzt aber nicht beabsichtigt von mir. Ich entschuldige mich in aller Form, es ist aber genau so richtig alles. Also dann haben wir hier a+b und setzten dann c daran, und kommen also von hier zu diesem Punkt. Das Gesamte hier ist also (a+b)+c. Das liegt jetzt hier auf einer Linie. Es ist also ein Spezialfall, macht jetzt aber nichts, denn das Prinzip funktioniert ja auch bei allen anderen Fällen genauso. Also wir können aber auch a nehmen und dann das Ergebnis von b+c daran setzen. Das Ergebnis von b+c ist dieser Pfeil hier, dieser Vektor, der durch diesen Pfeil symbolisiert wird. Und das hat natürlich nichts mit a zu tun, sondern das ist b+c. Das ist dieser Pfeil hier und wir rechnen also a+ das Ergebnis von b+c und wir kommen wieder von hier, dem Anfangspunkt des Vektors a, zum Endpunkt des Vektors b+c, beziehungsweise zum Endpunkt des Vektors c, die sind beide hier. Und damit kannst du also sehen, dass das Assoziativgesetz gilt. Und wenn der Vektor b hier ein bisschen länger wäre und das zum Beispiel hier hinführen würde und dann da hinführen würde, ist es natürlich genau das Gleiche. Da ändert sich nichts daran. Gut. Dann möchte ich zeigen, dass das Ganze für die Subtraktion auch richtig ist. Und zwar wissen wir ja, das schreibe ich hier noch hin, dass wir rechnen können, a-b, und das ist das Gleiche wie a+ der Gegenvektor von b. Und dann haben wir gesagt, das wenn man jetzt das Kommuntativgesetz anwendet, das ist -b+a. Auch das möchte ich eben einmal zeigen. Wir nehmen einen Vektor a, hier zum Beispiel, Vektor a. Müssen wir eben einteilen, da und da, okay, da ist Vektor a. Und ich nehme einen Vektor b, der soll sich jetzt einmal hier befinden, das ist der Vektor b, und ich möchte jetzt a-b rechnen. Das heißt, ich muss den Vektor -b bilden. Der Vektor -b ist hier. Und diesen Vektor -b, denn muss ich jetzt hier an a daran setzen. Da steht es, a+ Gegenvektor von b, das heißt, der kommt jetzt hier hin, so ungefähr zumindest. Und das, was hier rauskommt, also das dicke Ding hier, das ist jetzt der Vektor, ja schreibe ich einmal hier hin, das ist a-b. Die Frage ist: Ist das jetzt das Gleiche wie -b+a? Jetzt weiß ich schon gar nicht mehr, was ich da jetzt zeigen muss dabei. Also -b kommt hier hin. Nein das ist nicht ganz richtig. Ja, weil das ist so selbstverständlich. Wenn man dann den Blick hat, dann sieht man das einfach und denkt: Was ist zu zeigen? Also wir haben -b, das ist hier, vielleicht ein bisschen länger. -b, und a kommt hier daran, das ist a. Kommt ungefähr hin. Das ist a. Und dann haben wir als resultierenden Vektor hier wieder diesen dicken, ja es ist nicht ganz hundertprozentig gelungen. Ich hätte a etwas länger zeichnen müssen. Dieser dicke Vektor hier, das ist jetzt, schreib ich jetzt hier hin, -b+a. Und du siehst, hätte ich genau gezeichnet, wäre es auch das Gleiche gewesen. Also dieses Prinzip dieser Aneinandersetzung von Pfeilen, die dann letzten Endes diese Rechnung hier veranschaulichen, das ist doch relativ eingängig. Und ich glaube da ist nicht allzu viel zu erklären, dass diese Rechengesetze auch gelten. Das kommt sowieso noch in zig verschiedenen Anwendungen, also können wir darauf auch noch warten. Bis dahin. Tschüss.

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