Vektor – Länge 05:26 min

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Transkript Vektor – Länge

Hallo, was ist die Länge eines Vektors? Hier habe ich mal einen Dreidimensionalen aufgeschrieben und wir suchen dessen Länge. Erst kommt die kurze Erklärung, dann die lange Erklärung und dann die anschauliche Erklärung. Die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Das war die kurze Erklärung. Die lange Erklärung kommt jetzt mit Beispielen. Dieser Vektor besteht aus 3 Koordinaten, aus 3 Teilen, und diese Zahlen, aus denen der Vektor besteht, kann man ja so sagen, die können wir quadrieren. Z.B. -4 können wir quadrieren. Wir können auch die andere Zahl quadrieren und hier die 3. Koordinate auch, dann können wir die alle addieren, die einzelnen Quadrate, und aus der gesamten Summe können wir die Wurzel ziehen. Die Zahl, die da rauskommt, das ist ja eine positive Zahl, aus Wurzeln kommen ja immer positive Zahlen raus, das ist die Länge des Vektors und das nennt sich Betrag von V. Schreibt man so mit diesen Betragsstrichen, Betrag von V. Das ist also die Lage, wie man es macht, das funktioniert immer, wenn man 3 Zahlen gegeben hat, kann man die ganzen Koordinatenquadrate bilden, alle addieren und dann die Wurzel ziehen. Ich sage es nur der Vollständigkeit halber, du kannst hier nicht einzeln aus den Quadraten die Wurzeln ziehen und dann erst addieren, dann kommt etwas anderes raus. Also hier kommt z.B. 6 raus, 6 ist die Länge des Vektors, nicht wahr. Also -4² ist +16, 4² ist auch 16, zusammen sind das 32, +2² sind also +4, 32+4=36, \sqrt(36)=6. Ja, und dann zeig ich das noch, wie das anschaulich aussieht, warum man das so rechnet. Wir haben folgende Situation. Wir haben einen Vektor, der hier ungefähr ist, egal wo, weiß ich nicht, mir egal. Und dieser Vektor hat 3 Koordinaten, x, y, z. Und diese Koordinaten erzeugen quasi so einen Koordinatenquader, ja jetzt hat es nicht ganz hingehauen, macht nichts, ja, einen Koordinatenquader erzeugen die, ja, aber fast, ne. Und dieser Koordinatenquader, dessen Seiten, dessen Kanten dann jeweils parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, dieser Koordinatenquader der hat eine Raumdiagonale, die so ungefähr aussieht. Und die Länge dieser Raumdiagonale ist auch die Länge des Vektors. Und vielleicht erinnerst du dich, wie man Raumdiagonalen ausrechnet. Die Länge von Raumdiagonalen, man nimmt sich erst eine Seite, z.B. die hier. Man kann die Diagonale dieser Seite ausrechnen, indem man den Satz des Pythagoras anwendet.  Ja, wir haben ja hier ein rechtwinkliges Dreieck oder dieses, ist egal. Eine Kathede² + andere Kathede² = Hypotenuse². Und wenn man jetzt die Raumdiagonale haben will, dann stellt man sich ein 2. Dreieck vor, was sich dann ungefähr hier so befindet, ich weiß nicht, wie gut man das sehen kann. Dieses 2. Dreieck ist auch ein rechtwinkliges Dreieck, und zwar dieses hier, dieses rechtwinklige Dreieck. Hier ist der rechte Winkel. Und das ist hier die Hypotenuse in diesem rechtwinkligen Dreieck. Deshalb müssen wir einfach rechnen diese Diagonale hier zum Quadrat + diese Kante zum Quadrat = diese gestrichelte Diagonale zum Quadrat. Und wir wissen ja schon, dass dieses Quadrat hier gleich eine Kante² + andere Kante² ist, dann kommt noch diese Kante² dazu, also haben wir das Quadrat + das Quadrat + das Quadrat = das Quadrat. Die Wurzel aus all dem ist dann einfach die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate und deshalb kann man so die Länge eines Vektors bestimmen. Bzw. man bestimmt die Länge der Raumdiagonale des durch den Vektor erzeugten Koordinatenquaders. Viel Spaß damit, tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    Super Veranschaulichung. Danke!

    Von S Abrina, vor mehr als einem Jahr
  2. Felix

    @Auditeme:
    Bei einem Vektor kannst du anhand der Koordinaten sofort erkennen, in welche Richtung er zeigt. Die Länge des Vektors musst du aber erst noch berechnen.
    Ein Beispiel: Der Vektor (3,4,0) geht 3 Einheiten in x-Richtung, 4 Einheiten in y-Richtung und keine Einheit in z-Richtung. Das kannst du sofort ablesen. Die Länge berechnet sich als Wurzel aus 3^2+4^2+0^2=25, was 5 ergibt.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Hallo,
    In den letzten beiden Videos wurde weklätt, dass ein Vektor eine Länge mit Richtung ist! In diesem Videos hier heißt es aber, dass man die Länge erst berechnen muss:
    Der Betrag von v soll also die Wurzel aus den einzelnen Punkten im Quadrat sein... Warum ist das so? Ich dachte, man kann einen Vektor als tripel beschreiben!? Um Hilfe wäre ich sehr dankbar!!

    Von Auditeme, vor mehr als einem Jahr