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Transkript Uneigentliche Integrale – Gebrochenrationale Funktionen (1)

Hallo, hier ist eine rationale Funktion mit dem Funktionsterm (x2+2x-4)/(x-2) Und wir möchten wissen, ob der Graph dieser Funktion mit seiner Asymptote g(x)=x+4 und mithilfe der Geraden x=4 eine endliche Fläche einschließt. Das ist die Frage. Und zunächst einmal stellt man sich die Sache vor. Wir haben hier den Funktionsgraphen, so sieht die Funktion ungefähr aus, also diese rationale Funktion hier. Hier ist die Asymptote eingezeichnet, die Gerade g(x)=x+4 und die Gerade x=4 verläuft parallel zur y-Achse durch den Punkt 4 der x-Achse. Das ist hier also ungefähr. Na ja und hier ist ja ein schmales Stück, was von der Asymptoten und dem Graphen der Funktion f(x) eingeschlossen wird, also ab hier bis in die Unendlichkeit. Und die Frage ist jetzt, ist die Flächenmaßzahl endlich oder ist sie unendlich. Dann haben wir ja keine Flächenmaßzahl, also das ist einfach die Frage: Existiert das uneigentliche Integral oder nicht. Für manche immer noch etwas gewöhnungsbedürftig, eine Fläche, die unendlich breit ist, kann auch einen endlichen Flächeninhalt haben. Das gibt es, aber da gehe ich jetzt nicht weiter darauf ein, ich nehme an, dass du das weißt. Wenn du uneigentliche Integrale gemacht hast, dann gehörte das mit dazu. Nun, was müssen wir also machen, wenn wir wissen wollen, wie groß eine Fläche ist, die von zwei Graphen eingeschlossen wird? Da können wir zunächst einmal die Differenzfunktion bilden, das heißt, wir ziehen den einen Funktionsterm von dem anderen ab, natürlich nicht den Graphen, obwohl man das grafisch auch machen kann, da gehe ich jetzt aber nicht drauf ein. Also, wir ziehen die beiden Terme voneinander ab, bilden also die Differenzfunktion und integrieren diese. Das habe ich hier jetzt zunächst mal gemacht, habe den Funktionsterm von f(x) hingeschrieben, habe x+4 abgezogen, Differenzfunktion. Ja, das soll jetzt integriert werden. In welchen Grenzen? Ja, ab 4 eigentlich, also 4 ist die untere Grenze hier, die steht hier und oben habe ich erst mal ein "a" hingeschrieben. Wir müssen uns hinterher überlegen, was passiert, wenn das "a" immer größer wird, wird dann die Flächenmaßzahl bzw. das bestimmte Integral auch immer größer oder nicht? Oder strebt es einem Grenzwert zu? Jetzt habe ich hier die Polynomdivision gemacht im Schritt von hier nach da, habe dann hier unten stehen: x+4+4/(x-2)-x-4 also dieser Term hier ist der Term. Wenn man die Polynomdivision macht, kommt man dann ja auch auf diese Asymptote hier. Wir haben einen Teil der Funktion und einen anderen Teil der Funktion. Der andere Teil geht gegen Null, wenn x gegen plus oder minus unendlich geht. Das ist dieser Teil, deshalb ist das hier die Asymptote, die dann also übrig bleibt. Nun jetzt werden die beiden voneinander abgezogen. Das ist auch keine Kunst bis dahin. Übrig bleibt der Term 4/(x-2), der nun integriert werden muss und da müssen wir gucken, was passiert, wenn das "a" immer größer wird. Soweit so gut, es geht weiter mit der Integration. Und dazu habe ich noch mal aufgeschrieben, das unbestimmte Integral von 1/x, das ist ln(|x|) +c kann man natürlich auch dahinter schreiben. Nur noch mal zur Erinnerung, um klar zu machen, wie bin ich auf diesen Term gekommen. Und ich habe die entscheidende Formel für die lineare Substitution hier noch mal bereitgestellt. Wenn wir eine Funktion haben "f" von - und hier ist ein linearer Term, also (ax+b) - dann können wir einfach 1/a vor die dann entstandene Stammfunktion schreiben und einfach die Funktion f integrieren zu F und dann bleibt (ax+b) einfach erhalten. Ja, so ist es richtig. +c kann hier noch hin, aber das passt jetzt nicht mehr auf diese Folie. So, und das habe ich angewendet. Wir haben ja hier 4/(x-2). (x-2) ist ein linearer Term, dabei ist a=1 und b=-2. Die 4 habe ich einfach sowieso schon davor geschrieben, hier ist sie. Und dann bleibt also ln(|x-2|) übrig. Da müssen wir jetzt noch die Grenzen 4 und a einsetzen, das habe ich hier gemacht. Übrigens braucht man hier keine Betragsstriche mehr, denn wir haben gesagt, dass a die obere Grenze sein soll. Dann ist also a auf jeden Fall größer als 4. Wir wollen ja sowieso die Situation angucken für a gegen unendlich, also größer 4 auf jeden Fall. Und wenn a>4 ist, ist a-2 positiv und deswegen brauche ich den Betragsstrich nicht mehr. Wenn man hier die untere Grenze einsetzt, für x setzt man 4 ein. 4-2 ist einfach 2 und die Betragsstriche kann ich natürlich auch weglassen, weil Betrag von 2 = 2 ist. So, was haben wir jetzt erreicht? Wir wissen 4×ln(2) ist eine feststehende Zahl. Aber, wenn wir hier den Ausdruck betrachten 4×ln(a-2) und wir überlegen uns, was passiert, wenn a immer größer wird, dann kommen wir letzten Endes auf die ln-Funktion. Die ln-Funktion hat keinen Grenzwert, falls das Argument, also das was man für x einsetzt oder in dem Fall hier, was man für a einsetzt, wenn das immer größer wird, wenn x gegen unendlich geht, dann geht die ln-Funktion, also der Logarithmus zur Basis E auch gegen unendlich, hat keinen Grenzwert. Und das bedeutet letzten Endes, dass unsere Fläche, die vom Graphen und der Asymptote und der Geraden x=4 eingeschlossen wird, auch gegen unendlich geht. Das heißt, das uneigentliche Integral existiert gar nicht. Das kann man daran sehen. Und damit ist das hier vorbei. Wenn das so im Abitur gefragt wird, dann kommt der Antwortsatz da hin: "Das uneigentliche Integral existiert nicht, da die Funktion ln(x) unbeschränkt ist."

Glaube ich, dann müsste das erledigt sein. Viel Spaß damit. Tschüss!

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