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Transkript Uneigentliche Integrale – Erklärung

Hallo. Die Unendlichkeit gibt es auch in der Integralrechnung. Das nennt sich uneigentliche Integrale, und falls du das noch nicht gehabt hast, zeige ich das einmal an dieser Funktion. In der Integralrechnung geht es u. a. darum, Flächen zu bestimmen, die zwischen dieser x-Achse und so einem Funktionsgraph liegen. Zum Beispiel in bestimmten Grenzen, ich sage jetzt mal hier soll die 1 sein und dann könnte ich mich fragen: Wie groß ist die Fläche bis hier hin? Also diese Fläche um die geht es, die möchte ich herausfinden. Wie man das herausfindet, erzähle ich jetzt nicht. Es soll hier nur um die Vorstellung der uneigentlichen Integrale gehen. Das ist eine Fläche, die zwischen dieser roten Kurve und dieser x-Achse sich befindet. Und jetzt könnte ich mich fragen: Was passiert, wenn ich diese von dir aus gesehene rechte Grenze immer weiter verschiebe. Ich könnte mich fragen, wie viel Fläche ist dann bis hier, von dort bis dort oder bis hierhin oder bis dahin. Und wenn das jetzt immer weiter geht, dann wird die Fläche zwar schmaler, aber es kommt ja immer Fläche hinzu. Wo wird das enden? Und jetzt passiert etwas, was viele Leute ziemlich interessant finden. Es gibt Funktionen, die dann hier immer kleiner werden, aber wenn man sich fragt: Wo geht der Flächeninhalt hin, wenn man diese Grenze immer weiter verschiebt? Dann sieht man: Der Flächeninhalt wächst über alle Maße hinaus. Er ist also quasi unendlich groß. Es gibt aber auch Funktionen, da ist das anders. Da kann man diese Grenze immer weiter verschieben. Der Flächeninhalt, der gesamte Flächeninhalt kommt aber über eine bestimmte Zahl nicht hinaus. Und aus dem Alltag sind wir das wieder anders gewohnt. Also wenn ich z. B. ein großes Fass habe, und tue da Wasser rein, auch wenn ich ganz kleine Tropfen hinein schmeiße, irgendwann habe ich diesen sprichwörtlichen Tropfen, der das Fass zum Überlaufen bringt. Und der ist immer irgendwann erreicht. Irgendwann ist jedes Fass voll, egal, wie wenig ich dazutue. Also das sagt uns unsere Alltagserfahrung. Jetzt sagt man aber in der Integralrechnung: Es geht zumindest mit Flächeninhalten so, dass man eine unendlich breite Fläche hat, die zwar schmal ist, aber sie ist unendlich breit, aber der Flächeninhalt ist trotzdem beschränkt, er kommt über eine bestimmte Zahl nicht hinaus. Wie kann man sich das vorstellen? Z. B. mit diesem Zettel. Dieser Zettel hat lustige Punkte, blaue Punkte. Darum geht es aber nicht. Der Flächeninhalt dieses Zettels, der ist beschränkt, er ist nicht unendlich groß. Er ist ganz normal. Diesen Zettel kann ich nun, wie so oft üblich, teilen in 2 gleiche Hälften. So. Diese eine Hälfte lege ich jetzt einmal hier hin. Das, was übrig bleibt - Ach, ich wollte das da hinlegen. Das ist ein bisschen zerknickt schon. Ich arbeite mit dem schönen Zettel weiter. - Den kann ich jetzt wieder falten und in 2 gleiche Teile teilen. Und dieses entstandene Teil dort dranlegen. Diesen Zettel kann ich wieder in 2 gleiche Teile teilen. Das kann ich wieder danebenlegen. Das kann ich wieder daneben legen. Na ich hoffe, man sieht das schön. Das kann ich wieder daneben legen. Das kann ich danebenlegen usw. usf. Jetzt einmal abgesehen davon, dass ich diesen Zettel real natürlich nicht immer weiter teilen kann, weil meine Mittel hier beschränkt sind, aber rein zahlenmäßig, rein theoretisch ist das möglich und dann wird diese Fläche, die da entsteht, die wird immer breiter, die wird unendlich breit, aber der Flächeninhalt, der gesamte Flächeninhalt dieser Fläche ist nicht größer, als der Zettel vorher war. Die Fläche ist also endlich groß. Also ganz normal. Und so kann man sich uneigentliche Integrale vorstellen, die beschränkt sind. Das war es schon. Dann viel Spaß damit. Tschüss.  

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1 Kommentar
  1. Img 0018

    Sehr verständlich und logisch.

    Von Patrizia P., vor etwa 7 Jahren