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Transkript Umkehrfunktion und ihre Ableitung

Hallo, in diesem Video geht es um die Umkehrfunktionen und ihre Ableitungen. Wir betrachten eine Funktion f mit dem Definitionsbereich Df und dem Wertebereich Wf. Die Umkehrfunktion wird mit f^-1 bezeichnet. Das ist eine Funktion, die die Funktion f rückgängig macht. Das heißt, es gilt wenn y=f(x) ist, dann ist x gleich dem Wert der Umkehrfunktion an der Stelle y. Wenn man die erste Gleichung in die zweite einsetzt, bekommt man, dass der der Funktionswert der Umkehrfunktion an der Stelle f(x) gleich x ist. Hier kann man sehr gut sehen, was genau die Umkehrfunktion macht. Man kann auch andersum die zweite Gleichung in die erste einsetzen, dann bekommt man, dass f von dem Funktionswert der Umkehrfunktion an der Stelle y gleich y ist. Es ist klar, dass die Umkehrfunktion auf den Wertebereich der Ursprungsfunktion definiert sein soll und der Wertebereich der Umkehrfunktion ist gleich dem Definitionsbereich der Ursprungsfunktion. Der Definitionsbereich und der Wertebereich werden also bei der Umkehrfunktion vertauscht. Wie berechnet man nun die Umkehrfunktion? Die einfachste Methode ist, die Gleichung x=f(x) durch Äquivalenzumformungen in die Form x=g(y) zu bringen. Die Funktion g ist dann die gesuchte Umkehrfunktion. Wir verdeutlichen das auf einem Beispiel und betrachten die Funktion 2x-3. Dies kann man auch als y=2x-3 schreiben oder auch äquivalent als 2x=y+3. Wenn wir nun diese Gleichung durch 2 dividieren, bekommen wir die gewünschte Form x=(y+3)/2. Das heißt die Umkehrfunktion ist durch (y+3)/2 gegeben. Da es üblich ist, das Argument mit x zu bezeichnen, schreibt man normalerweise (x+3)/2. Nicht alle Funktionen sind umkehrbar. Wir betrachten die Funktion x². Für diese Funktion gilt f(1)=1, das heißt, wenn die Umkehrfunktion existiert, dann ist ihr Funktionswert an der Stelle 1 1. Außerdem gilt für diese Funktion f(-1)=1, das heißt der Funktionswert der Umkehrfunktion an der Stelle 1 ist gleich -1. Das ist natürlich ein Widerspruch. Für die Funktion x² existiert keine Umkehrfunktion. Das liegt daran, dass verschiedenen x-Werten ein y-Wert entspricht. Eine Funktion ist umkehrbar, wenn verschiedenen x-Werten aus dem Definitionsbereich verschiedene y-Werte aus dem Wertebereich entsprechen. Diese Bedingung ist bei der Funktion x² nicht erfüllt. Wenn eine Funktion nicht auf dem ganzen Definitionsbereich umkehrbar ist, so kann es sein, dass sie auf einem kleinen Intervall, wo die Umkehrbarskeitsbedingung erfüllt ist, umkehrbar ist. Wenn wir die Funktion x² auf den Bereich der positiven reellen Zahlen betrachten, so ist diese Bedingung erfüllt und wir können diese Funktion mit der uns schon bekannten Technik umkehren. Auf diesem Bereich gilt: x=sqrt(y) und nach dem Variablentausch erhalten wir (sqrt)x als Umkehrfunktion für die Funktion x² auf dem Bereich der positiven reellen Zahlen. Auch auf dem Bereich der negativen reellen Zahlen ist die Funktion x² umkehrbar. Die Umkehrfunktion lautet -(sqrt)x. Eine weitere interessante Eigenschaft der Umkehrfunktion betrifft ihre Ableitung. Sie kann nämlich wie folgt berechnet werden. Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle x=1/f' von dem Funktionswert der Umkehrfunktion an der Stelle x. Diese Formel ist leicht zu beweisen. Wir beginnen mit der uns schon bekannten Formel f^-1 von f(x)=x und berechnen ihre Ableitung. Dafür benötigen wir die Kettenregeln. Wir bekommen: Ableitung von der Umkehrfunktion an der Stelle f(x)×f'(x)=1. Wir dividieren die beiden Seiten durch f'(x) und bekommen: Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle f(x)=1/f'(x). Für f(x) setzen wir nun y ein und für x den Wert der Umkehrfunktion an der Stelle y. Mit dem Variablentausch bekommen wir die gewünschte Formel. So viel zu den Umkehrfunktionen. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

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4 Kommentare
  1. Ballett1

    Ich finde das Video etwas zu schnell , aber ansonsten gut verständlich.
    :-) Ich finde es irgendwie nicht ganz so nett, wenn jemand videos als schlecht bezeichnet, denn man sieht ja dass sich hier jemand mühe gegeben hat....man kann es freundlicher ausdrücken!!! ;D

    Von Erdbeermaus, vor mehr als 3 Jahren
  2. Start zwergwidder

    @ Kristin. Ich weiß ja schon wie man trigonomische Funktionen ableitet, aber eben nicht wie man Unkehrfunktionen ableitet. Trotzdem hilft mir dieses Video nicht weiter.

    Von Gift99, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    So schlecht ist das Video gar nicht. Ich hatte mit Ableitung der Arcusfunktion angefangen und nur "Bahnhof" verstanden. Durch dieses Video hier wird es mir klarer.
    Ich finde, es ist eine gute Übersicht zu Umkehrfunktionen bzw. Ableitung von Umkehrfunktionen generell.
    Tipp! Im Brückenkurs die Videos tauschen; zuerst "Umkehrfunktion und ihre Ableitung" und dann erst "Ableitungen der Arcusfunktion" anschauen! Dann gehts besser! ;-)

    Von Deleted User 39796, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Das Video ist schlecht. Die Schnelligkeit war nicht mal das Problem. Problematisch war die Unverständlichkeit.

    Von Aprender, vor etwa 5 Jahren