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Transkript Umkehrfunktion – Beispiele

Hallo, in diesem Video möchte ich erzählen, was Umkehrbarkeit einer reellen Funktion ist, wie man herauskriegt, wann eine Funktion umkehrbar ist und wie man die Umkehrfunktion bestimmt. Dann nehmen wir mal diese Funktion F hier die die Elemente so zuordnet, wie die Pfeile das zeigen. Ist zwar jetzt keine reelle Funktion aber ganz anschaulich und wir wollen jetzt wissen, ob es eine Funktion g gibt, die jedem Element in der rechten Menge wieder genau ihr Urbild in der linken Menge zuordnet. Wenn wir also bei f diese Abhängigkeit haben, dann muss g genau die umgekehrte Abhängigkeit realisieren. Falls eine Funktion g existiert, sodass für jede y=f(x) aus dem Wertebereich von F, die Gleichung g(y)=x gilt, so ist f umkehrbar. g ist dann die Umkehrfunktion und wird mit f^-1 bezeichnet. Es gilt dann also, g(f)(x)=x und f/g/y=y. F ist dann also auch die Umkehrfunktion von g. Hat man eine Funktion bei der 2 x Werte das gleiche Bild haben, dann ist sie nicht umkehrbar. Denn die Umkehrfunktion müsste ja dem einen Wert 2 Bilder zuordnen und das ist dann keine Funktion mehr, also das geht nicht. Eine umkehrbare Funktion ist also eineindeutig, man sagt auch Bijektiv. Nehmen wir mal ein Beispiel für eine umkehrbare Funktion. Die Funktion, die ihr dem x den Wert 2x zuordnet, die verdoppelt quasi jedes x und da kann man sich schon denken, dass die Umkehrfunktion, die Funktion ist, die jedes y halbiert. Da haben wir^-1 von y, da denken wir uns, dass das 2x ist und um da auf x zu kommen, müssen wir durch 2 teilen, also y halbe. Also ist die Umkehrfunktion f^-1 (y)=1/2×y. Wann ist nun so eine Funktion umkehrbar? Da gibt es einen Satz, jede auf den reellen Zahlen oder auf einen Intervall der reellen Zahlen definierte und dort streng monotone Funktion ist umkehrbar. Zeichnen wir mal eine und nehmen uns den Punkt x0, y0, dann muss also die Umkehrfunktion dem y0 den Wert x0 zuordnen. Und das tragen wir jetzt mal ein. Das gleiche machen wir mit den Punkt x1, y1, da muss die Umkehrfunktion dem y1 das x1 zuordnen. Wir vertauschen also quasi die Koordinaten. Und wenn wir das mit allen Koordinaten machen, kriegen wir diese Kurve heraus. Das muss dann also der Graph von f^-1 sein. Und dieser Graph entsteht aus dem Graphen von f, indem man diesen an der Winkelhalbierenden spiegelt. Das ist immer so mit dem Graph der Funktion und der Umkehrfunktion. So jetzt nehmen wir uns mal eine Funktion, die nicht streng monoton ist, und suchen uns 2 x Werte, die den gleichen Funktionswert haben. Wenn wir da die Koordinatenpaare umdrehen wollen, haben wir quasi 1 x Wert mit 2 y Werten und das geht natürlich nicht. Und deswegen ist es eben wichtig in dem Satz, dass die Funktion streng monoton ist. Wie kann man jetzt die Umkehrfunktion bestimmen? Nehmen wir mal die Funktion f(x)=/sqrt aus x-1. Der Wertebereich dieser Funktion sind die positiven Zahlen und 0 und das ist dann auch genau der Definitionsbereich der Umkehrfunktion und der Definitionsbereich sind die Zahlen >=1 und das wird der Wertebereich von der Umkehrfunktion sein. Jetzt gibt es hier Schritte, zuerst ersetzen wir f(x) durch die variable y und dann stellen wir den Term nach x um. Wenn wir das geschafft haben, vertauschen wir die Rollen von x und y und ersetzen am Schluss noch y durch f^-1(x). Hier kriegen wir also die Umkehrfunktion von f^-1 (x)= x²+1. Und noch ein Beispiel, hier legen wir allerdings den Definitionsbereich von x selber fest und zwar sollen das nur die positiven reellen Zahlen sein. Und der Wertebereich ist nicht ganz so leicht zu sehen, deswegen lassen wir den erst mal offen. Jetzt schreiben wir wieder y für f(x) multiplizieren mit 2x und das dürfen wir auch, denn x ist >0 und kommen dann auf diese quadratische Gleichung in x. Die lösen wir mit PQ-Formel und erhalten dann x1,2= y +- /sqrt aus y²+1. Das sieht ja erst mal nicht nach einer eindeutigen Lösung aus, aber der Wurzelterm hat einen größeren Betrag als das y, das heißt, die Minus-Variante fällt weg, weil das x dann negativ wäre und das haben wir per Definition ausgeschlossen. Dann vertauschen wir also wieder x+y und erhalten als Umkehrfunktion y=x+/Wurzelterm aus x²+1. Und da ist der Definitionsbereich der reellen Zahlen, also war der Wertebereich von f auch ganz nah. Das war es zu den Umkehrfunktionen.   

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4 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Elisabeth 1,
    du kannst dir zum Beispiel eine Skizze der Funktion anfertigen und überprüfen ob es y-Werte gibt, die zweimal angenommen werden. Wenn das nicht der Fall ist, stehen die Chancen gut, dass die Funktion umkehrbar ist.
    Versuche einfach mal, die Funktion nach x umzustellen. Achte dabei auf Definitionslücken, also wenn am Schluss da steht x = "irgendwelche Terme mit y", was darfst du für y nicht einsetzen?

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Das Video ist gut. Vielen Dank. Leider komme ich aber nicht auf die Lösung der Testfrage. Kannst du mir bitte helfen? Danke!

    Von Elisabeth 1, vor etwa 3 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Isi95,

    fangen wir mit x an. Ein Term, der unter einer Wurzel steht muss immer größer gleich 0 sein, weil die Wurzel für negative Zahlen nicht definiert ist. D.h. in unserem Fall muss der Term x-1 >= 0 sein (das soll "größer gleich" heißen). Das kann man leicht umformen zu x >= 1. Also haben wir schonmal x >= 1.
    Wenn ich für x nun genau 1 einsetze, erhalte ich für y den Wert 0 (Wurzel aus (1-1)). Setze ich für x andere erlaubte Werte ein, also Zahlen, die echt größer sind als 1, so erhalte ich unter der Wurzel immer eine Zahl die echt größer als 0 ist. Die Wurzel daraus ist immer noch eine Zahl, die echt größer als 0 ist. Also sind alle möglichen y-Werte, die ich erhalten kann, größer oder gleich 0.
    Wenn du noch erklären willst, warum auch wirklich alle reellen Zahlen größer gleich 0 im Wertebereich der Funktion sind, musst du schon den Begriff der Stetigkeit benutzen. Dann müsstest du sagen, dass die Wurzelfunktion stetig ist auf den nicht-negativen reellen Zahlen und unendlich groß werden kann.
    Eventuell reicht es auch zu sagen, dass die Wurzelfunktion - als eine der Standardfunktionen - den Wertebereich {x aus IR mit x >= 0} hat.

    Von Steve Taube, vor etwa 4 Jahren
  4. Default

    Woher her weißt du, (bei 3:40) dass y>0 und x>1 sein muss?

    Von Isi95, vor etwa 4 Jahren