Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Tetraeder – Volumen und Oberfläche

Bereit für eine echte Prüfung?

Das Oberfläche Tetraeder Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?

Quiz starten
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.

Lerntext zum Thema Tetraeder – Volumen und Oberfläche

Tetraeder – Einführung

Du hast bestimmt schon mal von Tetraedern gehört. Doch was sind Tetraeder eigentlich?

Ein Tetraeder, auch Vierflächner, ist ein Körper mit vier Seitenflächen. Diese Seitenflächen sind kongruente (deckungsgleiche), gleichseitige Dreiecke. Das Tetraeder ist damit ein Spezialfall der Pyramide.

Nachfolgend soll es um die Berechnung von Oberflächeninhalt und Volumen von Tetraedern gehen. Dabei ist es wichtig, dass du dich mit folgenden Themen bereits auskennst:

Tetraeder – Oberflächenberechnung

Wie schon erwähnt wird der Tetraeder von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das kannst du auch in dieser Abbildung erkennen:

Tetraeder

Der Oberflächeninhalt ergibt sich aus der Summe aller Seitenflächen. Da alle Seitenflächen gleichseitige, kongruente Dreiecke sind, kann man für den Oberflächeninhalt des Tetraeders folgende Gleichung formulieren:

$O=4 \cdot A_\text{Seitenfläche}$

Für $A_\text{Seitenfläche}$ muss nun der Flächeninhalt der gleichseitigen Dreiecke bestimmt werden, die das Tetraeder nach außen begrenzen. Dabei modifiziert man die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks und setzt entsprechende Größen ein. Die Höhe berechnet sich dabei mithilfe des Satz des Pythagoras:

$\begin{array}{rcl} a^2&=&h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\ \\ h^2&=& a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2\\ \\ &=& a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3}{4} a^2 \\ \\ h&=& \dfrac{\sqrt{3}}{2}a \end{array}$

Es ergibt sich also für die Seitenflächen:

$\begin{array}{rcl} A_\text{Seitenfläche}&=&\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \end{array}$

Eingesetzt in die Formel für den Oberflächeninhalt vom Tetraeder ergibt sich:

$\begin{array}{rcl} O&=&4 \cdot A_\text{Seitenfläche} \\ \\ &=&4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 \\ \\ &=& \sqrt{3} \cdot a^2 \end{array}$

Anhand eines Beispiels soll diese Formel zum Einsatz kommen.

Fragestellung
Ein Tetraeder mit der Kantenlänge von $22 \, \text{cm}$ ist gegeben. Berechne seinen Oberflächeninhalt!

Für die Lösung der Aufgabe benötigst du die Formel für den Oberflächeninhalt des Tetraeders und die Kantenlänge $a$.

$\begin{array}{rcl} O&=& \sqrt{3}a^2 \\ \\ &=& \sqrt{3} \cdot (22\,\text{cm})^2 \\ \\ & \approx & 838{,}31\,\text{cm}^2 \end{array}$

Das Tetraeder hat einen Oberflächeninhalt von $838{,}31\, \text{cm}^2$

Tetraeder – Volumenberechnung

Da es sich bei einem Tetraeder um einen Spezialfall der Pyramide handelt, ist es nicht weiter verwunderlich, dass die Formel für das Volumen des Tetraeders von der Formel für das Volumen einer Pyramide hergeleitet wird.

Dabei ergibt sich die Grundfläche des Tetraeders wie im vorherigen Abschnitt gezeigt. Die Höhe des Tetraeders zu bestimmen, ist etwas komplizierter. Deshalb verzichten wir an dieser Stelle auf die rechnerische Herleitung. Du kannst dir für die Formel des Flächeninhalts eines Tetraeders merken:

$\begin{array}{rcl} V&=&\frac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \\ \\ &=& \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} a^2 \cdot h \\ \\ &=& \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} a^2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{12} a^3 \end{array}$

Auch hier soll ein Beispiel die konkrete Berechnung im Anwendungsbeispiel verdeutlichen:

Fragestellung
Ein Tetraeder hat eine Kantenlänge von $7{,}5\,\text{cm}$. Berechne sein Volumen!

Für die Lösung brauchst du wieder die Formel für das Volumen und die Kantenlänge. Dann kannst du alles einsetzen und ausrechnen.

$\begin{array}{rcl} V&=& \dfrac{\sqrt{2}}{12} a^3 \\ \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{12} \cdot (7{,}5\,\text{cm})^3 \\ \\ & \approx & 49{,}72\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Tetraeder hat ein Volumen von $49{,}72\, \text{cm}^3$

Tetraeder – Übungsaufgaben

Versuche nun, Oberflächeninhalt und Volumen in der folgenden Aufgabe selbstständig zu berechnen.

Es ist ein Tetraeder mit der Kantenlänge von $17{,}25\, \text{cm}$ gegeben. Berechne Oberflächeninhalt und Volumen!

Zum Abschluss noch zwei etwas kompliziertere Übungen. Versuche, auch diese selbstständig zu lösen.

Der gegebene Tetraeder hat einen Oberflächeninhalt von $105{,}5 \, \text{mm}^2$. Berechne seine Kantenlänge!
Der gegebene Tetraeder hat ein Volumen von $745{,}9\, \text{m}^3$. Berechne seine Kantenlänge!

Oberflächeninhalt und Volumen eines Tetraeders – Zusammenfassung

Den Oberflächeninhalt eines Tetraeders berechnet man mit der Formel:

$O= \sqrt{3} a^{2}$

Das Volumen eines Tetraeders kann man mit folgender Formel berechnen:

$V= \dfrac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$

Hat man den Oberflächeninhalt oder das Volumen gegeben, kann man die Formeln dazu nutzen, um die Seitenkantenlänge zu berechnen. Dazu setzt man die gegebene Größe in die Formel ein und stellt nach der gesuchten Größe um.

Teste dein Wissen zum Thema Oberfläche Tetraeder!

1.215.161 Schülerinnen und Schüler haben bereits unsere Übungen absolviert. Direktes Feedback, klare Fortschritte: Finde jetzt heraus, wo du stehst!

Vorschaubild einer Übung
Bewertung

Ø 3.4 / 18 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
sofatutor Team
Tetraeder – Volumen und Oberfläche
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse