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Transkript Termumformungen – Zusammenfassung

Hallo, du kennst Terme. Ein Term ist etwas, was man ausrechnen kann, grob gesagt. Und hier habe ich mal 2 davon vorbereitet: -2a+3×(-2b+a)+5b Und der zweite Term lautet einfach: a-b Diese beiden Terme verbindet was ganz besonderes. Ja, nämlich beide Terme haben immer das gleiche Ergebnis. Das kannst du feststellen, in dem du für a eine Zahl einsetzt, also für dieses a und dieses und dieses, jeweils die gleiche Zahl. Und auch, wenn du dann für b etwas einsetzt, und zwar hier wieder für dieses und dieses und dieses b, jeweils die gleiche Zahl, dann stellst du fest, wenn du dann die Rechnungen ausfüllst hier, dass beide Terme immer das gleiche Ergebnis haben. Und weil das so was Besonderes ist, gibt es da auch spezielle Namen für. Man nennt solche beiden Terme gleichwertig, das sind zwei gleichwertige Terme, das Gleichheitszeichen ist hier angemessen. Sie heißen auch äquivalent oder man sagt auch, die beiden Terme sind ergebnisgleich. In vielen Zusammenhängen, in denen Terme eine Rolle spielen, ist es praktisch, nicht mit einem so komplizierten Term zu arbeiten, sondern mit einem ergebnisgleichen einfachen Term. Und da ergibt sich auch gleich die Frage: Wie kann man denn einen Term in einen anderen ergebnisgleichen Term umformen? Muss man sich das vielleicht jedes Mal selber ausdenken, wie das geht oder gibt es da vielleicht Regeln für? Nun, es gibt Regeln dafür und die habe ich mal hier auf dieser riesigen Folie vorbereitet. Da ist sie. 6 Regeln und die erkläre ich mal kurz. Du kannst also etwas ausrechnen. Wenn du einen Term vorfindest, kannst du etwas ausrechnen, wie hier zum Beispiel. Da steht: -a+5×3 und da du weißt, dass 5×3=15 ist, kannst du diesen Term auch so schreiben: -a+15. Diese beiden Terme sind ergebnisgleich, egal was du für a einsetzt. Dieser Term und dieser Term haben immer das gleiche Ergebnis, wenn du den Term ausrechnest. Dann kannst du Variablen addieren oder auch subtrahieren. Und das geht so, ich zeige das eben mal hier an dem Beispiel. Wir haben 17x-3x, das sind 14x. Du kannst dir das auch so vorstellen, sage ich mal: Wenn du 17 Eier hast und aus 3 Eiern machst du dir ein Omelett und isst das auf, dann hast du hinterher nur noch 14 Eier. Man kann auch sagen, die Variable bleibt einfach stehen und mit den Koeffizienten, das sind also die Zahlen, die vor den Variablen stehen, mit den Koeffizienten wird einfach diese Rechnung ausgeführt und dann erhältst du hier zum Beispiel das Ergebnis 14x. Dann kannst du Variablen multiplizieren oder auch dividieren. Dabei musst du aber beachten, dass nicht nur die Koeffizienten multipliziert werden, hier also 2×5, was ja 10 ist, sondern auch die Variablen werden multipliziert, da steht hier also noch: ×x und ×y. 2x×5y=10xy oder man kann auch sagen: 10×x×y. Dann haben wir die Kommutativgesetze: a+b=b+a und es gilt auch a×b=b×a. Das bedeutet anders gesagt, 2 Summanden kannst du einfach vertauschen, genauso, wie du 2 Faktoren einfach vertauschen kannst, das Ergebnis ist immer das Gleiche. Wir haben als 5. das Assoziativgesetz oder die Assoziativgesetze, es gibt nämlich das eine Assoziativgesetz für die Addition, das heißt: (a+b)+c=a+(b+c). Und ebenso hat man das für die Multiplikation (a×b)×c=a×(b×c). Und diese beiden Gesetze hier, Nummer 4 und Nummer 5, also das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz, die stellen sicher, dass man Terme umordnen kann. Und da möchte ich eben mal ein plakatives Beispiel zu zeigen. Ich habe hier ein paar Münzen vorbereitet und ich kann die jetzt in eine bestimmte Reihenfolge bringen. Ich kann auch erst zum Beispiel hier diese Euro-Münzen addieren und dann die anderen 20er hier addieren und hier das Kupfergeld auch noch ein bisschen zusammen oder ich kann das auch hier hinlegen und da und anders addieren, so zum Beispiel. Und es wird sich der Betrag niemals ändern, egal wie ich das hier anordne. Ich meine, das wäre auch ein Ding, wenn man einfach die Münzen anders hinlegt und dann hat man mehr Geld plötzlich. Das ist aber nicht der Fall. Und genauso ist es mit Termen, wenn du da Summanden umordnest, anders hinschreibst, in einer anderen Reihenfolge, dann ändert sich das Ergebnis des Termes auch nicht. Mit Faktoren ist es das Gleiche. Und das wissen wir eben, weil diese beiden Gesetze gelten, das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz. Ich zeige das jetzt nicht ganz genau, wie man das herleitet aus diesen beiden Gesetzen, dass man dann alles Mögliche umordnen kann, das würde hier jetzt einfach zu weit führen. Dann haben wir hier noch als krönenden Abschluss das Distributivgesetz und das lautet: a×(b-c)=a×b-a×c. Hier ist es wichtig, dass du diesen Fehler nicht machst, der häufig vorkommt, dass hier einfach nur a×b gerechnet wird und dann wird das a nicht mehr mit dem c multipliziert. Wenn b-c in der Klammer steht, dann musst du, wenn du diese Klammer multiplizieren möchtest, eben beide Summanden in der Klammer jeweils mit dem a multiplizieren. Und dieses Distributivgesetz gibt es auch noch in dieser Schreibweise, nämlich mit dem Pluszeichen dazwischen, wenn da ein Plus ist, muss da auch eines sein. Und dann lautet es: a×(b+c)=a×b+a×c. So, das sind die grundlegenden Möglichkeiten, wie du Terme umformen kannst. Das ist eine ganze Menge, gebe ich zu. Und deshalb möchte ich jetzt hier einfach mal zeigen, wie man das anwenden kann und dazu muss ich mal eben hier ein bisschen sauber machen. So, wir möchten diesen Term umformen, wenn es geht, natürlich in einen einfacheren Term und was fällt uns da auf? Wir sehen, wir haben hier diese Situation wie im Distributivgesetz. Wir haben eine Klammer, in der Klammer ist eine Summe und diese Summe wird mit etwas multipliziert, deshalb können wir hier das Distributivgesetz anwenden auf diesen Term. Den Rest des Terms, den schreibe ich hier einfach ab, nämlich -2a und dann habe ich hier +3×-2b. Und jetzt gucken wir wieder, wie haben wir das gesagt, wie kann man Variablen multiplizieren? Wir müssen die beiden Koeffizienten multiplizieren und die beiden Variablen auch, hier haben wir aber nur eine Variable, deshalb fällt das weg: 3×-2=-6 und das b bleibt einfach erhalten, also haben wir hier -6b. Laut Distributivgesetz müssen wir jetzt noch a×c rechnen, das heißt in unserem Fall also 3 mal der zweite Summand, der ist hier das a. Also können wir noch hinschreiben: +3×a und der Rest des Terms wird einfach abgeschrieben, nämlich 5b. Das geht aber noch einfacher, den Term können wir noch umformen und jetzt komme ich zu dem Ordnen. Wir können einfach diese "a"s hier, sage ich mal, diese beiden Summanden, die das a enthalten, nach vorne schreiben, das ist dann -2a+3a und die beiden Summanden, die das b enthalten, nach hinten schreiben. Da ist allerdings wichtig, dass man hier dieses Rechenzeichen mitnimmt, ich kann jetzt nicht einfach hier +6b hinschreiben, sondern es sind ja -6b. Das ist immer wichtig, dass du das nicht durcheinanderbringst. Also -6b+5b. So, und jetzt haben wir gesagt, wir können Variablen addieren oder subtrahieren. Hier haben wir dann -2a+3a, da werden einfach die Koeffizienten, nämlich -2 und 3 addiert oder subtrahiert, wie man das jetzt sehen will. Wir rechnen -2+3 und das ist 1, das ist also 1a und -6b+5b ist einfach -1b, weil ja -6+5=-1 ist, also: -1b. Und dann kommt noch etwas Klitzekleines hier hinzu, was nicht hier nicht in dieser Liste vermerkt ist, aber das ist so selbstverständlich, dass man es gar nicht aufschreibt. Du weißt ja, dass 1×a=a ist und deshalb kann ich statt 1a auch einfach a schreiben und -1b ist dasselbe wie -b und deshalb kann man die 1 in diesem Fall weglassen. Ja, und da haben wir jetzt also mithilfe dieser Regeln diesen komplizierten Term in diesen einfachen ergebnisgleichen Term umgeformt. Und das ist auch der Sinn, warum es solche Regeln gibt, damit man sich nämlich das Rechnen einfacher machen kann. Viel Spaß damit. Tschüss!

Informationen zum Video
35 Kommentare
  1. Default

    Hallo Martin Wabnik,
    das Video ist gut, aber sehr in die länge gezogen, dass heißt, man kann sich, dass gar nicht alles merken...
    LG Maren :)

    Von Maren O., vor 3 Monaten
  2. Default

    cooler Tutor
    ich habe schon einige Videos angeschaut aber dieses war am hilfreichstem

    Von C Bornhauser, vor 6 Monaten
  3. Default

    Gute Zusammenfassung

    Von Lw2002, vor 6 Monaten
  4. Sava

    wie kommentiert man im video

    Von Serhat B., vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Wo kann man Übungen machen?

    Von Leonie W., vor mehr als einem Jahr
  1. Default

    tolle Erklärungen und Beispiele bitte mehr solcher videos

    Von Sascha 1, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    sehr gut erklärt und gute besipiele weiter so ;)

    Von Jonas H., vor fast 2 Jahren
  3. Default

    <3 ._.

    Von Toryali N., vor fast 2 Jahren
  4. Default

    Richtig toll erklärt :D vorher wollt ich das alles nicht in meinen Kopf kriegen :3 aber das hatt sehr geholfen

    Von Ben 6, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Danke das war sehr nützlich jetzt habe ich es endlich verstanden
    Vielen Vielen dank :) ;)

    Von Sabrinan Simon, vor fast 2 Jahren
  6. Default

    :)

    Von Ckos75, vor etwa 2 Jahren
  7. Flyer wabnik

    @Ckos75: Ja, ich lese das. Danke für deinen Enthusiasmus ;) Es freut mich sehr, wenn die Videos nützlich sind.

    Von Martin Wabnik, vor etwa 2 Jahren
  8. Default

    Ich habe es endiuch verstanden lieber tutor wenn sie das lesen vielen vielen dank für ihre hilfe durch sie werde ich eine gute note schreiben es sollten mehr solche menschen auf der welt leben

    Von Ckos75, vor etwa 2 Jahren
  9. Default

    gggggggggggggggggggggggggggggggggggggguuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuutttttttttttttttt

    Von Sewa75, vor etwa 2 Jahren
  10. Default

    Super.....! :D

    Von Svea N., vor etwa 2 Jahren
  11. Default

    hihi läuft

    Von Dirk Paustian, vor etwa 2 Jahren
  12. Screenshot 2015 10 03 21 22 53 1

    sehr gut erklärt

    Von Jennifer Smolka, vor etwa 2 Jahren
  13. Default

    gutes video!!! echt guter tutor :-D

    Von Ichmeldemich, vor mehr als 2 Jahren
  14. Default

    ok

    Von Ichmeldemich, vor mehr als 2 Jahren
  15. Default

    geld

    Von Schnina78, vor mehr als 2 Jahren
  16. Default

    Ah!!

    Von Schnina78, vor mehr als 2 Jahren
  17. Default

    super video danke!!!!!!

    Von Fam Smaali, vor fast 3 Jahren
  18. Default

    Endlich hab ichs verstanden

    Von Henry Elflein, vor fast 3 Jahren
  19. Default

    eim herz im hintergrund

    Von Top Model .., vor fast 3 Jahren
  20. Default

    ein herz im hintergrund

    Von Top Model .., vor fast 3 Jahren
  21. Default

    WOW !!! Super Hammer erklärt....
    ....naja das macht er ja in jedem Video...;)

    Von Carsten W., vor etwa 3 Jahren
  22. Default

    sehr gut erklärt! Hat mir echt weitergeholfen :)

    Von Papendick, vor etwa 3 Jahren
  23. Default

    Gut

    Von Stefan Bellm, vor etwa 3 Jahren
  24. Default

    Gut

    Von Suemnick, vor mehr als 3 Jahren
  25. Default

    warum kann der nicht mein mathelehrer sein???????????

    Von Lfw0210, vor mehr als 3 Jahren
  26. Default

    Gut gemacht.

    Von Helmuth, vor fast 4 Jahren
  27. Default

    geiiil

    Von Jannik D., vor mehr als 4 Jahren
  28. Default

    ja schon guuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut erklärt :) ♥

    Von Shari 10, vor mehr als 4 Jahren
  29. Default

    Wow finde ich gut, besser als unser Mathelehrer!

    Von Fiare, vor mehr als 5 Jahren
  30. Default

    sehr gut erklärt !

    Von Antonia Weberbauer, vor fast 6 Jahren
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